Теорема Микеля

Рисунок, показывающий три окружности, проходящие через вершины треугольника ABC и точки A´, B´ и C´, лежащие на смежных сторонах треугольника и пересекающиеся в общей точке M.

Теорема Микеля для различных треугольников

Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика Огюста Микеля^[фр.][1]. Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии, полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle ABC}$ — треугольник с произвольными точками ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ соответственно на сторонах ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ (или на их продолжениях). Опишем три окружности около треугольников ${\displaystyle AB'C'}$, ${\displaystyle A'BC'}$, и ${\displaystyle A'B'C.}$ Теорема Микеля утверждает, что эти три окружности пересекутся в одной точке ${\displaystyle M}$, называемой точкой Микеля. Более того, будут равны друг другу три угла ${\displaystyle \angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A}$ (отмечены на рисунке).^[2][3]

Частный случай

Если точка Микеля — центр описанной окружности треугольника, а диаметры трех окружностей Микеля равны радиусу описанной окружности треугольника, и каждая из трех окружностей Микеля проходит через общую для них точку — центр описанной окружности, а также через две проекции этого центра на стороны треугольника и через одну из трех вершин, тогда радиусы трех окружностей Микеля одинаковы.

См. также

• Точка Микеля — другой результат Микеля

Примечания

1. Ostermann, Wanner, 2012, p. 94.
2. Miquel, Auguste (1838), Mémoire de Géométrie, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1: 485–487, Архивировано из оригинала 13 февраля 2013, Дата обращения: 30 декабря 2015
3. Wells, 1991, p. 184 — Wells refers to Miquel’s theorem as the pivot theorem

Литература

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, vol. 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
• Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005