Схема Бернулли

Проводятся ${\displaystyle n}$ опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью ${\displaystyle p}$ (или не произойти — «неудача» — с вероятностью ${\displaystyle q=1-p}$). Задача — найти вероятность получения ровно ${\displaystyle m}$ успехов в этих ${\displaystyle n}$ опытах.

Решение:

${\displaystyle P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}}$ (формула Бернулли).

Количество успехов — величина случайная, которая имеет биномиальное распределение.

Определение

Для применения схемы Бернулли должны быть выполнены следующие условия:

• Каждое испытание имеет ровно два исхода, условно называемых успехом и неудачей.
• Независимость испытаний: результат очередного эксперимента не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов.
• Вероятность успеха должна быть постоянной (фиксированной) для всех испытаний.

Рассмотрим стохастический эксперимент с двухэлементным пространством элементарных событий. Одно назовём «успехом», обозначим «1», другое — «неудачей», обозначим «0». Пусть вероятность успеха ${\displaystyle 0<p<1}$, тогда вероятность неудачи ${\displaystyle 1-p=q}$.

Рассмотрим новый стохастический эксперимент, который состоит в ${\displaystyle n}$-кратном повторении этого простейшего стохастического эксперимента.

Понятно, что пространство элементарных событий ${\displaystyle \Omega }$, которое отвечает этому новому стохастическому эксперименту будет ${\displaystyle \left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}={\overline {0,1}},i={\overline {1,n}}\right\rbrace }$ (1), ${\displaystyle N(\Omega )=2^{n}}$. За ${\displaystyle \sigma }$-алгебру событий ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ возьмём булеан пространства элементарных событий ${\displaystyle P(\Omega )}$ (2). Каждому элементарному событию ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ поставим в соответствие число ${\displaystyle p(\omega )=p^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}q^{n-\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$. Если в элементарном событии ${\displaystyle \omega }$ успех наблюдается ${\displaystyle k}$ раз, а неудача — ${\displaystyle (n-k)}$ раз, то ${\displaystyle p(\omega )=p^{k}q^{n-k}}$. Пусть ${\displaystyle A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{i=1}^{n}a_{i}=k\},k={\overline {0,n}}}$, тогда ${\displaystyle P(A_{k})=\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}}$. Также является очевидной нормированность вероятности: ${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1}$.

Поставив в соответствие каждому событию ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ числовое значение ${\displaystyle P(A)=\sum _{\omega \in A}P(\omega )}$ (3), мы найдём вероятность ${\displaystyle P:{\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$. Построенное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$, где ${\displaystyle \Omega }$ — пространство элементарных событий, определённое равенством (1), ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, определённая равенством (2), P — вероятность, определённая равенством (3), называется схемой Бернулли для ${\displaystyle n}$ испытаний.

Набор чисел ${\displaystyle P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k={\overline {0,n}},n\in \mathbb {N} }$ называется биномиальным распределением.

Обобщение (полиномиальная схема)

Обычная формула Бернулли применима на случай, когда при каждом испытании возможно одно из двух событий. Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из ${\displaystyle k>2}$ событий с вероятностью ${\displaystyle p_{i}(i=1,2,...,k)}$, где ${\displaystyle p_{1}+...+p_{k}=1}$. Вероятность появления ${\displaystyle m_{1}}$ раз первого события и ${\displaystyle m_{2}}$ — второго и ${\displaystyle m_{k}}$ раз k-го находится по формуле:

${\displaystyle P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k}!}}{p_{1}}^{m_{1}}{p_{2}}^{m_{2}}...{p_{k}}^{m_{k}}}$,

где ${\displaystyle n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.}$

Теоремы

В особых условиях (при достаточно больших или достаточно малых параметрах) для схемы Бернулли используются приближенные формулы из предельных теорем: теорема Пуассона, локальная теорема Муавра — Лапласа, интегральная теорема Муавра — Лапласа.

Ссылки

• Последовательность испытаний (схема Бернулли)