Симметризация и антисимметризация функции

Симметризация — это процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметрическую функцию от n переменных.

Антисимметризация преобразует любую функцию от n переменных в антисимметрическую функцию.

Две переменные

Пусть ${\displaystyle S}$ — множество, а ${\displaystyle A}$ — абелева группа. Если задано отображение ${\displaystyle \alpha \colon S\times S\to A}$, ${\displaystyle \alpha }$ называется симметрическим отображением, если ${\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)\forall s,t\in S}$.

Симметризация отображения ${\displaystyle \alpha \colon S\times S\to A}$ — это отображение ${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x)}$.

Антисимметризация или кососимметризация отображения ${\displaystyle \alpha \colon S\times S\to A}$ — это отображение ${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x)}$.

Сумма симметризации и антисеммитризации отображения α равна 2α. Таким образом, если кольцо допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению), как например, вещественные числа, любую функцию можно представить как сумму симметрической и антисимметрической функций.

Симметризация симметрического отображения равносильна его удвоению, тогда как симметризация знакопеременного отображения^[англ.] равна нулю. Аналогично, антисимметризация симметрического отображения равна нулю, в то время как антисимметризация знакопеременного отображения равносильна его удвоению.

Билинейные формы

Симметризация и антисимметризация билинейного отображения являются билинейными отображениям. Если кольцо допускает деление на 2, любая билинейная форма является суммой симметрической формы и кососимметрической и нет разницы между симметрическими и квадратичными формами.

Если кольцо не допускает деление на 2, не всякую форму можно разложить на симметрическую и кососимметрическую. Так, например, над целыми числами связанная симметрическая форма (над рациональными числами) может использовать половинки целых значений, в то время как над ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,}$ функция кососимметрическая тогда и только тогда, когда она cимметрическая (так как 1 = −1).

Это ведёт к понятию ε-квадратичных форм^[англ.] и ε-симметрических форм.

Теория представлений

В терминах теории представлений:

• перестановка переменных даёт представление симметрической группы в пространстве функций от двух переменных,
• симметрические и антисимметрические функции являются подпредставлениями, соответствующими тривиальному представлению^[англ.] и знаковому представлению
• симметризация и антисимметризация отображает функцию в эти подпредставления и, если кольцо допускает деление на 2, это даёт проекции.

Поскольку симметрическая группа порядка 2 равна циклической группе порядка 2 (${\displaystyle \mathrm {S} _{2}=\mathrm {C} _{2}}$), это соответствует дискретному преобразованию Фурье порядка 2.

n переменных

В более общем случае, если дана функция от n переменных, можно её симметризовать путём взятия суммы по всем ${\displaystyle n!}$ перестановкам переменных^[1] или антисимметризовать путём взятия суммы по всем ${\displaystyle n!/2}$ чётным перестановкам и вычитания из неё суммы всех ${\displaystyle n!/2}$ нечётных перестановок (за исключением случая n ≤ 1, когда имеется единственная перестановка, так что число перестановок нечётно).

В этом случае симметризация (соответственно, антисимметризация) симметрической функции умножается на ${\displaystyle n!}$. Таким образом, если кольцо допускает деление на ${\displaystyle n!}$, как бывает в случае поля характеристики ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle p>n}$, это даёт проекции, если разделить на ${\displaystyle n!}$.

В терминах теории представлений имеются подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому, но для случая ${\displaystyle n>2}$ существую и другие — см. Теория представления симметрической группы^[англ.] и Симметрический многочлен.

Бутстрэп

Если задана функция от k переменных, можно получить симметрическую функцию от n переменных путём взятия суммы над подмножествами из k переменных. В статистике это называется бутстрэпом, а ассоциированные статистики называются U-статистиками^[англ.].

Примечания

1. Hazewinkel, 1990, с. 344.

Литература

Ссылки

• Michiel Hazewinkel. Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". — Springer, 1990. — Т. 6. — (Encyclopaedia of Mathematics). — ISBN 978-1-55608-005-0.