Регулярное семейство распределений

Регуля́рное семе́йство распределе́ний в математической статистике — это распределения, плотность которых дифференцируема относительно параметра.

Определение

Пусть дано параметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений ${\displaystyle \{\mathbb {P} _{\theta }\}_{\theta \in \Theta }}$, где ${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} }$, так что ${\displaystyle f(x\mid \theta )}$ — плотность вероятности ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }}$ для каждого ${\displaystyle \theta \in \Theta }$. Тогда это семейство называется регулярным, если ${\displaystyle {\sqrt {f(x\mid \cdot )}}}$ непрерывно дифференцируема относительно параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta }$, то есть существует такое множество ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }(D)=1,\quad \forall \theta \in \Theta }$, и

${\displaystyle \forall x\in {D},\quad {\sqrt {f(x\mid \cdot )}}\in C^{1}(\Theta )}$.

Примеры

• Пусть ${\displaystyle \Theta =\{\theta >0\}}$, и ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }=\mathrm {Exp} (\theta )}$ — экспоненциальное распределение с параметром ${\displaystyle \theta }$. Тогда

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\sqrt {f(x\mid \theta )}}=\left({\frac {1}{2{\sqrt {\theta }}}}-{\frac {{\sqrt {\theta }}x}{2}}\right)e^{-\theta x/2}\in C(\Theta ).}$

Следовательно семейство распределений регулярно.

• Пусть ${\displaystyle \Theta =\{\theta >0\}}$, и ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }=\mathrm {U} [0,\theta ]}$ — непрерывное равномерное распределение на отрезке ${\displaystyle [0,\theta ]}$. Тогда легко видеть, что ${\displaystyle D\supset [0,\infty )}$, и ${\displaystyle f(x\mid \cdot )}$ разрывна в точке ${\displaystyle \theta =x}$. Таким образом семейство распределений нерегулярно.

Применение

Условие регулярности распределения рассматривается при выводе неравенства Рао-Крамера.

Литература

• Боровков А.А., Математическая статистика, 4-е изд., СПб.: "Лань", 2010. (§ 26. Неравенство Рао-Крамера и R-эффективные оценки)