Расширение группы

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа ${\displaystyle N}$ и факторгруппа ${\displaystyle Q}$, и ищется расширение ${\displaystyle G\supset N}$ такое, что ${\displaystyle G/N\cong Q}$, или, что эквивалентно, такая ${\displaystyle G}$, что существует короткая точная последовательность:

${\displaystyle 1\to N\to G\to Q\to 1}$.

В этом случае говорят, что ${\displaystyle G}$ является расширением ${\displaystyle Q}$ при помощи ${\displaystyle N}$^[1] (иногда используется другая формулировка: группа ${\displaystyle G}$ является расширением ${\displaystyle N}$ с помощью ${\displaystyle Q}$^[2][3]).

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа ${\displaystyle N}$ лежит в центре группы ${\displaystyle G}$.

Примеры

Группы ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ также как ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ являются расширениями ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ при помощи ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

Очевидное расширение — прямое произведение: если ${\displaystyle G=K\times H}$, то ${\displaystyle G}$ является как расширением ${\displaystyle H}$, так и ${\displaystyle K}$. Если ${\displaystyle G}$ является полупрямым произведением групп ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle H}$ (${\displaystyle G=K\rtimes H}$), то ${\displaystyle G}$ является расширением ${\displaystyle H}$ с помощью ${\displaystyle K}$.

Сплетения групп^[англ.]* дают дальнейшие примеры расширений.

Свойства

Если потребовать, что ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle Q}$ были абелевыми группами, то множество классов изоморфизмов расширения группы ${\displaystyle Q}$ с помощью заданной (абелевой) группы ${\displaystyle N}$, фактически, является группой, которая изоморфна:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)}$

(функтор Ext). Некоторые другие общие классы расширений известны, но нет теории, которая рассматривает все возможные расширения одновременно, в этом смысле задача расширения группы обычно считается трудной.

Поскольку любая конечная группа ${\displaystyle G}$ обладает максимальной нормальной подгруппой ${\displaystyle N}$ с простой факторгруппой ${\displaystyle G/N}$, все конечные группы могут быть построены как композиционные ряды^[англ.] ${\displaystyle \{A_{i}\}}$, где каждая группа ${\displaystyle A_{i+1}}$ является расширением ${\displaystyle A_{i}}$ при помощи некоторой простой группы. Этот факт стал одним из важных стимулов для решения задачи классификации простых конечных групп.

Классификация расширений

Решение задачи расширения означает классификацию всех расширений группы ${\displaystyle H}$ при помощи ${\displaystyle K}$, или, более конкретно, выражение всех таких расширений в терминах математических объектов, которые в каком-либо их смысле проще (легко вычислить или хорошо изучены). В общем случае эта задача очень трудна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Для задачи классификации важным понятием является эквивалентности расширений; говорят, что расширения:

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}$

и

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}$

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует изоморфизм группы ${\displaystyle T:G\to G'}$, делающий коммутативной диаграмму:

Фактически, достаточно иметь группу гомоморфизмов. Вследствие предполагаемой коммутативности диаграммы отображение вынужденно будет изоморфизмом по короткой лемме о пяти гомоморфизмах^[англ.].

Может случиться, что расширения ${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$ и ${\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}$ не эквивалентны, но ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle G'}$ изоморфны как группы. Например, имеется ${\displaystyle 8}$ неэквивалентных расширений четверной группы Клейна с помощью ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$^[4], но существуют, с точностью до изоморфизма, только четыре группы порядка 8, содержащие нормальную подгруппу порядка ${\displaystyle 2}$ с факторгруппой, изоморфной четверной группе Клейна.

Тривиальные расширения

Тривиальное расширение — это расширение:

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$,

которое эквивалентно расширению:

${\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}$,

где левая и правая стрелки являются соответственно включением и проекцией каждого множителя ${\displaystyle K\times H}$.

Классификации расщепляемых расширений

Расщепляемое расширение — это расширение:

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

с гомоморфизмом ${\displaystyle s\colon H\to G}$, таким что переход от ${\displaystyle H}$ к ${\displaystyle G}$ с помощью ${\displaystyle s}$, а затем обратно к ${\displaystyle H}$ по факторотображению короткой точной последовательности порождает тождественное отображение на ${\displaystyle H}$, то есть ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}$. В этой ситуации обычно говорят, что ${\displaystyle s}$ расщепляет вышеупомянутую точную последовательность.

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляемо тогда и только тогда, когда группа ${\displaystyle G}$ является полупрямым произведением ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle H}$. Полупрямые произведения сами по себе легко классифицировать, поскольку они взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам ${\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}$, где ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K)}$ является группой автоморфизмов ${\displaystyle K}$.

Центральное расширение

Центральное расширение группы ${\displaystyle G}$ является короткой точной последовательностью групп

${\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}$

такой что ${\displaystyle A}$ лежит в ${\displaystyle Z(E)}$ (центре группы ${\displaystyle E}$). Множество классов изоморфизмов центральных расширений группы ${\displaystyle G}$ с помощью ${\displaystyle A}$ (где ${\displaystyle G}$ действует тривиально на ${\displaystyle A}$) является взаимно-однозначным соответствием с группой когомологий^[англ.] ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$.

Примеры центральных расширений могут быть построены путём взятия любой группы ${\displaystyle G}$ и любой абелевой группы ${\displaystyle A}$, полагая ${\displaystyle E}$ равным ${\displaystyle A\times G}$. Этот вид расщепляемого примера (расщепляемое расширение в смысле задачи расширения, поскольку ${\displaystyle G}$ является подгруппой ${\displaystyle E}$) не представляет особого интереса, поскольку он соответствует элементу ${\displaystyle 0}$ в ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$ согласно вышеупомянутому соответствию. Более серьёзные примеры найдены в теории проективных представлений в случаях, когда проективные представления не могут быть подняты до обычных линейных представлений.

В случае конечных совершенных групп имеется универсальное совершенное центральное расширение^[англ.].

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является точной последовательностью

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,}$

такой что ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ находится в центре ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$.

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева^[5].

Группы Ли

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли с помощью дискретных групп это то же самое, что накрывающие группы^[англ.]. Более точно, связное накрывающее пространство ${\displaystyle G^{\ast }}$ связной группы Ли ${\displaystyle G}$ является естественным центральным расширением группы ${\displaystyle G}$, при этом проекция

${\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}$

является группой гомоморфизмов и сюръективна. (Структура группы на ${\displaystyle G^{\star }}$ зависит от выбора отображения тождественного элемента в тождественный элемент ${\displaystyle G}$.) Например, когда ${\displaystyle G^{\star }}$ является универсальным накрытием группы ${\displaystyle G}$, ядро ${\displaystyle \pi }$ является фундаментальной группой группы ${\displaystyle G}$, которое, как известно, абелево (H-пространство). Обратно, если дана группа Ли ${\displaystyle G}$ и дискретная центральная подгруппа ${\displaystyle Z}$, факторгруппа ${\displaystyle G/Z}$ является группой Ли, а ${\displaystyle G}$ является её накрывающим пространством.

Более общо, если группы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle G}$ в центральном расширении являются группами Ли и отображения между ними являются гомоморфизмами группы Ли, то если алгеброй Ли группы ${\displaystyle G}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, алгеброй ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, а алгеброй ${\displaystyle E}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$, то ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ является центральным расширением алгебры Ли^[англ.] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ с помощью ${\displaystyle \mathbf {a} }$. В терминологии теоретической физики генераторы алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ называются центральными зарядами^[англ.]. Эти генераторы лежат в центре алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$. По теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам и называются зарядами.

Основные примеры центральных расширений как накрывающих групп:

• спинорные группы, которые дважды накрывают специальные ортогональные группы, которые (в чётной размерности) дважды накрывают проективную ортогональную группу^[англ.];
• метаплектические группы^[англ.], которые дважды накрывают симплектические группы.

Случай ${\displaystyle SL_{2}(\mathbf {R} )}$ вовлекает фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической группой; здесь центральное расширение хорошо известно из теории модулярных форм для случая форм с весом ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Соответствующее проективное представление является представлением Вейля^[англ.], построенным из преобразования Фурье, в этом случае, на вещественной оси. Метаплектические группы появляются также в квантовой механике.

См. также

• Расширение алгебры Ли^[англ.]
• Расширение кольца^[англ.]
• Алгебра Вирасоро
• HNN-расширение^[англ.]
• Расширение топологической группы^[англ.]

Примечания

1. В общей алгебре чаще всего под расширением структуры ${\displaystyle K}$ обычно предполагается структура ${\displaystyle L\supset K}$, в которой ${\displaystyle K}$ является подструктурой, таким образом, в частности, определяется расширение поля; но в теории групп (возможно, ввиду обозначения ${\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}$) устоялась другая терминология, и фокус сосредоточен не на ${\displaystyle N\subset G}$, а на факторгруппе ${\displaystyle Q}$, поэтому считается, что расширяется именно ${\displaystyle Q}$ при помощи ${\displaystyle N}$.
2. Remark 2.2.  (неопр.) Дата обращения: 15 марта 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
3. Brown, Porter, 1996, с. 213–227.
4. Dummit, Foote, 2004, с. 830.
5. Janelidze, Kelly, 2000.

Литература

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract algebra. — third edition. — Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. — ISBN 0-471-43334-9.
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
• Taylor R.L. Covering groups of non connected topological groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1954. — Т. 5. — С. 753–768.
• Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1994. — Т. 115. — С. 97–110.
• Brown R., Porter T. On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1996. — Т. 96A. — С. 213–227.
• Janelidze G., Kelly G. M. Central extensions in Malt'sev varieties // Theory and Applications of Categories. — 2000. — Т. 7. — С. 219–226.
• Morandi P. J. Group Extensions and ${\displaystyle H^{3}}$.
• Group extensions  (неопр.). GroupNames. Дата обращения: 14 июня 2019.