Рамочный магический квадрат — это такой магический квадрат, что если в нём отбросить окаймляющие «полосы» шириной в одну или несколько клеток, то оставшийся квадрат не утратит своего магического свойства. Такие квадраты ещё называют ассоциативными или симметричными.
Рамочных магических квадратов 4-го порядка нет (так как не существует магических квадратов второго порядка)
Методы построения рамочных магических квадратов
Квадраты нечётного порядка
Метод ал-Караджи
- Один из простейших методов, касающихся заполнения квадратов порядка n=2k+1, принадлежит ал-Караджи (X в.).[1]
Рассмотрим метод в общем случае.
- Построение рамки начинается слева от правого верхнего угла, в который записывают число 1. Число 2 помещают в клетку, расположенную под правой верхней;
- 3 — слева от 1; 4 — под 2 и т. д. до числа 2(k-1). Число 2k-1 записывают под предыдущим; 2k — в левом верхнем углу;
- 2k+1 — в середине нижней части рамки; число 2(k+1) помещают в левый нижний угол, а следующий — справа от него. Число 3k располагают над 2(k+1).
- Дальнейшее заполнение осуществляется аналогично размещению чисел в правом верхнем углу. Последним записывают число ((2k+1)∙4-4)/2=4k . При заполнении оставшихся клеток рамки из (2k+1)2+1 вычитают числа, стоящие в соответствующих клетках углах рамки.
- Следующая рамка (2k-3)×(2k-3) строится аналогичным образом, начиная с числа 4k+1 и т. д. Наконец, внутри рамки составляется магический квадрат порядка 3.
Квадрат, иллюстрирующий данный метод, представлен ниже:
| 4
|
19
|
21
|
1
|
20
|
| 24
|
16
|
9
|
14
|
2
|
| 23
|
11
|
13
|
15
|
3
|
| 8
|
12
|
17
|
10
|
18
|
| 6
|
7
|
5
|
25
|
22
|
Метод «Чистых братьев и Верных друзей»
- Следующий метод принадлежит «Чистым братьям и Верным друзьям».[1] Поскольку в рукописи описания метода не было, то ниже представлена его реконструированная версия, рассмотренная в общем случае и показанная на примере магического квадрата порядка 7 (n=7, k=3).
- Независимо от порядка заполнение начинают с наименьшего квадрата. Первое число помещают во вторую сверху ячейку, крайнего правого столбца, в котором заполняется n−2 ячейки, до предпоследней;
- Следующее число помещают в последнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют строку полностью, до предпоследней ячейки;
- Оставшиеся рамки заполняют аналогично, рисунок ниже;
| 16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
11
|
|
|
|
2
|
3
|
|
4
|
12
|
|
|
|
|
|
1
|
5
|
13
|
|
|
|
|
|
|
6
|
14
|
|
|
|
|
|
|
|
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Далее переходят к заполнению «пустой» главной диагонали, записывая числа в их естественном порядке .
| 16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
28
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
27
|
11
|
|
|
|
2
|
3
|
26
|
4
|
12
|
|
|
|
|
25
|
1
|
5
|
13
|
|
|
|
24
|
|
|
6
|
14
|
|
|
23
|
|
|
|
|
15
|
| 22
|
|
|
|
|
|
|
- Пустые ячейки рамки заполняют, дополняя их в сумме с противоположными до числа (n²+1)/2;
- Следующим шагом k−1 число в правом столбце, через одну ячейку, считая от предпоследней снизу, меняют местами с соответствующими числами левого столбца; и k чисел в верхней строке, через одно, считая от первой ячейки, с соответствующими числами нижней строки.
В результате получаем рамочный магический квадрат, представленный ниже:
| 16
|
33
|
18
|
31
|
20
|
29
|
28
|
| 39
|
7
|
42
|
9
|
40
|
27
|
11
|
| 12
|
46
|
2
|
47
|
26
|
4
|
38
|
| 37
|
5
|
49
|
25
|
1
|
45
|
13
|
| 14
|
44
|
24
|
3
|
48
|
6
|
36
|
| 35
|
23
|
8
|
41
|
10
|
43
|
15
|
| 22
|
17
|
32
|
19
|
30
|
21
|
34
|
Квадраты нечётно-чётного порядка
Метод Секи Ковы
Алгоритм построения квадрата порядка 2(2k+1)×2(2k+1) рассмотрим в общем виде:
- В ячейку правого нижнего угла помещают 1, число 2 располагают в ячейке первой строки так, как если бы она была под последней строкой. Аналогичным образом продолжают заполнять правый крайний столбец до тех пор, пока не достигнут числа 2(2k+1) −1;
- Число 2(2k+1) помещают в предпоследнюю ячейку первой строки, считая справа налево, и заполняют (2k+1) клетку в направлении к 2;
- Следующее число помещают в ячейку правого крайнего столбца, под числом 2(2k+1) −1 и в направлении к 1 полностью заполняют правый столбец;
- Следующее число помещают в пустую ячейку первой строки и заполняют её полностью в направлении к 1;
- Пустые ячейки нижней строки и крайнего левого столбца, кроме угловых ячеек, заполняются дополнительными числами к (2k+1)2+1, к соответственно противоположным. Угловые ячейки заполняются дополнительными числами до n2+1 к противоположным угловым;
- (2k+1) число правого столбца после верхней угловой ячейки меняют местами с соответствующими числами левого столбца. Аналогично поступают с 2k числами первой строки, стоящих на втором и предпоследнем местах, с соответствующими числами нижней строки. Таким образом, получаем внешнюю рамку квадрата;
- Остальные рамки заполняют аналогично;
Ниже изображён квадрат порядка 6, построенный по данному методу:
| 36
|
31
|
7
|
8
|
27
|
2
|
| 3
|
26
|
13
|
12
|
23
|
34
|
| 4
|
19
|
16
|
17
|
22
|
33
|
| 5
|
15
|
20
|
21
|
18
|
32
|
| 28
|
14
|
25
|
24
|
11
|
9
|
| 35
|
6
|
30
|
29
|
10
|
1
|
См. также
Примечания
Литература
- Холл М. Комбинаторика, пер. с англ. М. 1970.
- Dénes J. H., Keedwell A. D. Latin Squares and their Applications. Budapest. 1974.
- Laywine C.F., Mullen G.L. Discrete mathematics using Latin squares. New York. 1998.
- Малых А. Е., Данилова В. И. Об историческом процессе развития теории латинских квадратов и некоторых их приложениях (недоступная ссылка) // Вестник Пермского Университета. 2010. Вып. 4(4). С. 95-104.
- Тужилин М. Э. Об истории исследований латинских квадратов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. Том 19, выпуск 2. С. 226—227.
- Чебраков Ю. В. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. СПб: СПбГТУ, 1995, 388 с. ISBN 5-7422-0015-3.
Ссылки
