Преобразование треугольник-звезда

Преобразование треугольник-звезда — способ эквивалентного преобразования пассивного участка линейной электрической цепи — «треугольника» (соединения трёх ветвей, которое имеет вид треугольника, сторонами которого являются ветви, а вершинами — узлы), в «звезду» (соединение трёх ветвей, которые имеют один общий узел). Эквивалентность «треугольника» и «звезды» обусловлена тем, что при одинаковых напряжениях между одноименными выводами электрической цепи токи, которые втекают в одноименные выводы, а следовательно и мощности также будут одинаковыми^[1].

Дальнейшие рассуждения проводятся для резисторов, но фактически применимы к произвольным импедансам.

Прямое преобразование

Рассмотрим приведенные выше схемы относительно выводов 1 и 2.

В схеме «треугольник» резистор ${\displaystyle R_{12}}$ соединён параллельно с последовательно соединёнными резисторами ${\displaystyle R_{13}}$ и ${\displaystyle R_{23}}$, что соответствует последовательно соединенным сопротивлениям ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$ в схеме «звезда». Отсюда следует, что:

${\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{12}\cdot (R_{23}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

Аналогично для других пар выводов:

${\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{13}\cdot (R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

${\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{23}\cdot (R_{12}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

Решая данную систему уравнений относительно сопротивлений ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{2}}$ и ${\displaystyle R_{3}}$ , получаем:

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{12}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{12}\cdot R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{23}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}}$

Обратное преобразование

Решив исходную систему уравнений относительно сопротивлений ${\displaystyle R_{12}}$, ${\displaystyle R_{13}}$ и ${\displaystyle R_{23}}$ получим формулы для обратного преобразования, из «звезды» в «треугольник»:

${\displaystyle R_{12}=R_{1}+R_{2}+{\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{3}}}}$

${\displaystyle R_{13}=R_{1}+R_{3}+{\frac {R_{1}\cdot R_{3}}{R_{2}}}}$

${\displaystyle R_{23}=R_{2}+R_{3}+{\frac {R_{2}\cdot R_{3}}{R_{1}}}}$

Применение

Преобразование треугольник-звезда может быть полезным для расчёта сопротивления несбалансированного моста при ${\displaystyle {\frac {R_{1}}{R_{2}}}\neq {\frac {R_{4}}{R_{3}}}}$.

Примечания

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник для Вузов. — 8. — М.: Высшая школа, 1984. — 559 с.