Подпространство

Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.

Подпространство — подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и так далее), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.

Приставка «под» используется в том же смысле для других математических объектов, например подграф, подгруппа, подкатегория и так далее.

Примеры

• Непустое подмножество ${\displaystyle L'\subset L}$ векторного (линейного) пространства ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle F}$ является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов ${\displaystyle x,y\in L'}$ сумма ${\displaystyle x+y\in L'}$ и для всякого вектора ${\displaystyle x\in L'}$ и любого ${\displaystyle \alpha \in F}$ вектор ${\displaystyle \alpha x\in L'}$. В частности, подпространство ${\displaystyle L'}$ обязательно содержит нулевой вектор пространства ${\displaystyle L}$ (он также является нулевым вектором пространства ${\displaystyle L'}$).

• Векторное подпространство ${\displaystyle L'\subset L}$ называется собственным подпространством, если ${\displaystyle L'\neq L}$ и ${\displaystyle L'}$ содержит хотя бы один ненулевой вектор.

• Векторное подпространство ${\displaystyle L'\subset L}$ называется инвариантным подпространством линейного отображения ${\displaystyle A:L\to L}$, если ${\displaystyle A(L')\subset L'}$, то есть ${\displaystyle A(x)\in L'}$ для любого вектора ${\displaystyle x\in L'}$. Если ${\displaystyle \lambda }$ — собственное значение отображения ${\displaystyle A}$, то все векторы ${\displaystyle e\in L}$, удовлетворяющие соотношению ${\displaystyle A(e)=\lambda e}$ (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения ${\displaystyle A}$. Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению ${\displaystyle \lambda }$.

• Подпространство евклидова векторного пространства также является евклидовым пространством, но подпространство псевдоевклидова векторного пространства может быть и псевдоевклидовым (другой сигнатуры), и евклидовым пространством, а также может быть вырожденным или изотропным^[1].

• Подпространство ${\displaystyle M'\subset M}$ метрического пространства ${\displaystyle M}$ с метрикой ${\displaystyle \rho }$ обладает индуцированной метрикой ${\displaystyle \rho '}$, которая определена формулой ${\displaystyle \rho '(x,y)=\rho (x,y)}$ для любых ${\displaystyle x,y\in M'}$^[2].

• Подпространство ${\displaystyle T'\subset T}$ топологического пространства ${\displaystyle T}$ с топологией ${\displaystyle \tau }$ обладает индуцированной топологией ${\displaystyle \tau '}$, открытыми множествами в которой являются множества ${\displaystyle G_{\tau '}=G_{\tau }\cap T'}$, где ${\displaystyle G_{\tau }}$ — всевозможные открытые множества в топологии ${\displaystyle \tau }$^[2].

• Пусть ${\displaystyle P=P(L)}$ — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства ${\displaystyle L}$, и ${\displaystyle L'\subset L}$ — векторное подпространство. Тогда проективное пространство ${\displaystyle P'=P(L')\subset P}$ является проективным подпространством^[3].

Примечания

1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009 (гл. 7, пар. 7)
2. Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.
3. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Любое издание, гл. IX, пар. 1.