Коэффициент эксцесса

Несколько распределений и их коэффициенты эксцесса. В порядке уменьшения высоты пика (значения в нуле):
распределение Лапласа;
Hyperbolic secant distribution^[англ.];
Логистическое распределение;
Нормальное распределение;
Raised cosine distribution^[англ.];
Полукруговой закон Вигнера;
Равномерное распределение

Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины.

Определение

Пусть задана случайная величина ${\displaystyle X}$, такая что ${\displaystyle \mathbb {E} |X|^{4}<\infty }$. Пусть ${\displaystyle \mu _{4}}$ обозначает четвёртый центральный момент: ${\displaystyle \mu _{4}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{4}\right]}$, а ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mathrm {D} [X]}}}$ — стандартное отклонение ${\displaystyle X}$. Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$.

Замечание

• «Минус три» в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса стандартного нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик очень гладкий.

Свойства коэффициента эксцесса

• ${\displaystyle \gamma _{2}\in [-2,\infty )}$.
• Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые случайные величины с равной дисперсией. Пусть ${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$. Тогда

${\displaystyle \gamma _{2,Y}={\frac {1}{n^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}\gamma _{2,X_{i}}}$,

где ${\displaystyle \gamma _{2,Y},\gamma _{2,X_{i}},\;i=1,\ldots ,n}$ — коэффициенты эксцесса соответствующих случайных величин.

См. также

• Моменты случайной величины.