Коэффициент нелинейных искажений

Коэффицие́нт нелине́йных искаже́ний (КНИ или K_Н) — величина для количественной оценки нелинейных искажений.

Определение

Коэффициент нелинейных искажений равен отношению среднеквадратичной суммы спектральных компонентов выходного сигнала, отсутствующих в спектре входного сигнала, к среднеквадратичной сумме всех спектральных компонент входного сигнала

^[1]${\displaystyle K_{\mathrm {H} }={\frac {\sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}{\sqrt {U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}}}$

КНИ — безразмерная величина и выражается обычно в процентах. Кроме КНИ, уровень нелинейных искажений часто выражают и через коэффициент гармонических искажений (КГИ или K_Г) — величину, выражающую степень нелинейных искажений устройства (усилителя и др.) и равную отношению среднеквадратичного напряжения суммы высших гармоник сигнала, кроме первой, к напряжению первой гармоники при воздействии на вход устройства синусоидального сигнала.

${\displaystyle K_{\Gamma }={\frac {\sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}{U_{1}}}}$

КГИ, так же, как и КНИ, выражается в процентах и связан с ним соотношением

${\displaystyle K_{\Gamma }={\frac {K_{\mathrm {H} }}{\sqrt {1-K_{\mathrm {H} }^{2}}}}}$

Для малых значений КГИ и КНИ совпадают в первом приближении. В западной литературе обычно пользуются КГИ, тогда как в отечественной литературе традиционно предпочитают КНИ.

КНИ и КГИ — это лишь количественные меры искажений, но не качественные. Например, значение КНИ (КГИ), равное 3% ничего не говорит о характере искажений, т.е. о том, как в спектре сигнала распределены гармоники, и каков, например, вклад НЧ или ВЧ составляющих. Так, в спектрах ламповых УМЗЧ обычно преобладают низшие гармоники, что часто воспринимается на слух как «тёплый ламповый звук», а в транзисторных УМЗЧ искажения более равномерно распределены по спектру, и он более плоский, что часто воспринимается как «типичный транзисторный звук» (хотя спор этот во многом зависит от личных ощущений и привычек человека).

Согласно действующему "ГОСТ 16465-70. Государственный стандарт. Сигналы радиотехнические измерительные. Термины и определения." наименование "Коэффициент нелинейных искажений" недопустимо к применению (недопустимый к применению термин-синоним). Правильно использовать только термин "Коэффициент гармоник".

Примеры расчёта КГИ

Для многих стандартных сигналов КГИ может быть подсчитан аналитически^[2]. Входной сигнал предполагается гармоническим. Так, для симметричного прямоугольного сигнала (меандра):

${\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{8}}-1\,}}\approx \,0{,}483\,=\,48{,}3\%}$

Идеальный пилообразный сигнал имеет КГИ

${\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{6}}-1\,}}\approx \,0{,}803\,=\,80{,}3\%}$

а симметричный треугольный

${\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{4}}{96}}-1\,}}\approx \,0{,}121\,=\,12{,}1\,\%}$

Несимметричный прямоугольный импульсный сигнал с соотношением длительности импульса к периоду, равному μ^[3] обладает КГИ

${\displaystyle K_{\Gamma }\,(\mu )={\sqrt {{\frac {\mu (1-\mu )\pi ^{2}\,}{2\sin ^{2}\pi \mu }}-1\;}}\,,\qquad 0<\mu <1}$,

который достигает минимума (≈0,483) при μ=0,5, т. е. тогда, когда сигнал становится симметричным меандром^[2]. Кстати, фильтрованием можно добиться значительного снижения КГИ этих сигналов, и таким образом получать сигналы, близкие по форме к синусоидальным. Например, симметричный прямоугольный сигнал (меандр) с изначальным КГИ в 48,3 %, после прохождения через фильтр Баттерворта второго порядка (с частотой среза, равной частоте основной гармоники) имеет КГИ уже в 5,3 %, а если фильтр четвёртого порядка — то КГИ=0,6 %^[2]. Чем более сложный сигнал на входе фильтра и чем более сложный сам фильтр (а точнее, его передаточная функция), тем более громоздкими и трудоёмкими будут вычисления КГИ. Так, стандартный пилообразный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта первого порядка, имеет КГИ уже не 80,3 % а 37,0 %, который в точности даётся следующим выражением:

${\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}-\pi \,\mathrm {cth} \,\pi \,}}\,\approx \,0{,}370\,=\,37{,}0\%}$

А КГИ того же сигнала, прошедшего через такой же фильтр, но второго порядка, уже будет даваться достаточно громоздкой формулой^[2]:

${\displaystyle K_{\Gamma }\,={\sqrt {\pi \,{\frac {\,\mathrm {ctg} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\cdot \,\mathrm {cth} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\,\mathrm {ctg} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\cdot \,\mathrm {cth} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\,\mathrm {ctg} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\,\mathrm {cth} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\;}{{\sqrt {2\,}}\left(\mathrm {ctg} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}+\,\mathrm {cth} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\!\right)}}\,+\,{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}\,-\,1\;}}\;\approx \;0.181\,=\,18.1\%}$

Если же рассматривать вышеупомянутый несимметричный прямоугольный импульсный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта p-го порядка, то тогда:

${\displaystyle K_{\Gamma }\,(\mu ,p)=\csc \pi \mu \,\cdot \!{\sqrt {\mu (1-\mu )\pi ^{2}-\,\sin ^{2}\!\pi \mu \,-\,{\frac {\,\pi }{2}}\sum _{s=1}^{2p}{\frac {\,\mathrm {ctg} \,\pi z_{s}}{z_{s}^{2}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,+\,{\frac {\,\pi }{2}}\,\mathrm {Re} \sum _{s=1}^{2p}{\frac {e^{i\pi z_{s}(2\mu -1)}}{z_{s}^{2}\sin \pi z_{s}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,}},}$

где 0<μ<1 и

${\displaystyle z_{l}\equiv \exp {\frac {i\pi (2l-1)}{2p}}\,,\qquad l=1,2,\ldots ,2p.}$

подробности вычислений — см. Ярослав Благушин и Эрик Моро^[2].

Измерения

• В низкочастотном (НЧ) диапазоне для измерения КНИ применяются измерители нелинейных искажений (измерители коэффициента гармоник).
• На более высоких частотах (СЧ, ВЧ) используют косвенные измерения с помощью анализаторов спектра или селективных вольтметров.

Типовые значения КНИ и КГИ

Ниже приведены некоторые типовые значения для КНИ, и в скобках, для КГИ.

• 0 % (0%) — форма сигнала представляет собой идеальную синусоиду.
• 3 % (3 %) — форма сигнала отлична от синусоидальной, но искажения незаметны на глаз.
• 5 % (5 %) — отклонение формы сигнала от синусоидальной заметной на глаз по осциллограмме.
• 10 % (10 %) — стандартный уровень искажений, при котором считают реальную мощность (RMS) УМЗЧ, заметен на слух.
• 12 % (12 %) — идеально симметричный треугольный сигнал.
• 21 % (22 %) — «типичный» сигнал трапецеидальной или ступенчатой формы.^[4]
• 43 % (48 %) — идеально симметричный прямоугольный сигнал (меандр).
• 63 % (80 %) — идеальный пилообразный сигнал.

См. также

• Искажения сигнала
• Измеритель нелинейных искажений

Литература

• Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2 т. / Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978.
• Горохов П. К. Толковый словарь по радиоэлектронике. Основные термины. — М: Рус. яз., 1993.

Примечания

1. ?
2. Iaroslav Blagouchine and Eric Moreau. Analytic Method for the Computation of the Total Harmonic Distortion by the Cauchy Method of Residues. IEEE Transactions on Communications, vol. 59, no. 9, pp. 2478—2491, September 2011.  (неопр.) Дата обращения: 7 марта 2015. Архивировано 18 октября 2014 года.
3. Т. е. μ — это обратная скважность, или то, что в англоязычной литературе называется duty cycle (но не в процентах, а в абсолютной величине); другими словами, μ — это то, что во франкоязычной литературе называется rapport cyclique.
4. КНИ/КГИ сигнала трапецеидальной формы может варьироваться, в зависимости от высоты отсечки, от КНИ/КГИ прямоугольного меандра до КНИ/КГИ симметричного треугольного сигнала, т.е. КГИ такого сигнала лежит в интервале 12—48%.

Дополнительные ссылки

• ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАНАЛА ЗВУКОПЕРЕДАЧИ
• Коэффициент нелинейных искажений (КНИ / THD / THDI)