Когерентный пучок

Когерентные пучки — класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами пространства-носителя. В определении когерентного пучка используется пучок колец, который хранит эту геометрическую информацию.

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений. В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию, и поэтому замкнуты относительно таких операций, как взятие ядер, коядер и образов. Квазикогерентные пучки — это обобщение когерентных пучков, включающее в себя векторные расслоения бесконечного ранга.

Когомологии когерентных пучков — это мощная техника, в частности используемая для изучения сечений когерентных пучков.

Определения

Квазикогерентный пучок на окольцованном пространстве (X,O_X) — это пучок O_X-модулей F, который локально представим, то есть у каждой точки X имеется открытая окрестность U, для которой существует точная последовательность

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

для некоторых множеств I и J (возможно, бесконечных).

Когерентный пучок на окольцованном пространстве (X,O_X) — это квазикогерентный пучок F, удовлетворяющий следующим двум условиям:

1. пучок F конечного типа над O_X, то есть у любой точки X имеется открытая окрестность U, такая, что существует сюръективный морфизм On
   X|_U → F|_U для некоторого натурального n;
2. для любого открытого множества U ⊂ X, любого натурального n и любого морфизма O_X-модулей φ: On
   X|_U → F|_U, ядро φ конечного типа.

Морфизмы между (квази)когерентными пучками те же самые, что и морфизмы O_X-модулей.

Свойства

На произвольном окольцованном пространстве квазикогерентные пучки не образуют абелевой категории. Однако квазикогерентные пучки над любой схемой образуют абелеву категорию, и они крайне полезны в этом контексте.^[1]

Когерентные пучки на произвольном окольцованном пространстве образуют абелеву категорию, полную подкатегорию категории O_X-модулей.

Подмодуль когерентного пучка когерентен, если он конечного типа. Когерентный пучок всегда является конечно представимым O_X-модулем, в том смысле, что у любой точки X имеется открытая окрестность U, такая, что ограничение F|_U пучка F на U изоморфно коядру морфизма O_Xⁿ|_U → O_X^m|_U для натуральных n и m. Если O_X когерентен, то, обратно, любой конечно представимый O_X-модуль когерентен.

Пучок колец O_X называется когерентным, если он когерентен как модуль над собой. В частности, теорема Ока о когерентности^[англ.] утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном аналитическом пространстве^[англ.] X когерентен. Аналогично, на локально нётеровой схеме X, структурный пучок O_X когерентен.^[2]

Локальное поведение когерентных пучков

Важным свойством когерентных пучков является то, что свойства когерентного пучка в точке контролируют его поведение в окрестности этой точки. Например, лемма Накаямы (в геометрических терминах) утверждает, что если F — когерентный пучок на схеме X, то его слой, тензорно умноженный на поле вычетов F_p⊗_OX,pk(p) в точке p (векторное пространство над полем вычетов k(p)) нулевой, если и только если F нулевой на некоторой открытой окрестности точки p. Связанный с этим факт — то, что размерность слоёв когерентного пучка полунепрерывна сверху.^[3] Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом подмножестве, тогда как на замкнутом подмножестве ранг может подскакивать.

В том же духе: когерентный пучок F на схеме X является векторным расслоением если и только если его слой F_p является свободным модулем над локальным кольцом O_X,p для любой точки p в X.^[4]

На общей схеме невозможно определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением, по его слоям, тензорно умноженным на поля вычетов. Однако на приведённой локально нётеровой схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен.^[5]

Когомологии когерентных пучков

Теория когомологий когерентных пучков является одним из основных технических средств в алгебраической геометрии. Хотя она появилась только в 1950-х годах, многие более ранние результаты в алгебраической геометрии формулируются более ясно на языке когомологий пучков, применённом к когерентным пучкам. Грубо говоря, когомологии когерентных пучков можно рассматривать как инструмент для построения функций с заданными свойствами; сечения линейных расслоений или более общих пучков можно рассматривать как обобщённые функции. В комплексной аналитической геометрии когомологии когерентных пучков также играют важную роль.

Теоремы о занулении в аффинном случае

Комплексный анализ был революционизирован благодаря теоремам Картана A и B^[англ.], доказанным в 1953 году. Эти результаты говорят, что если E — когерентный аналитический пучок на пространстве Штейна^[англ.] X, то E порождается своими глобальными сечениями, и Hⁱ(X,E) = 0 для всех i > 0. (Комплексное пространство X является пространством Штейна, если и только если оно изоморфно замкнутому аналитическому подпространству Cⁿ для некоторого n.) Эти результаты обобщают большой корпус более ранней работы по построению комплексных аналитических функций с заданными особенностями или другими свойствами.

В 1955 году Серр ввёл когерентные пучки в алгебраическую геометрию (первоначально над алгебраически замкнутым полем, но это ограничение было снято Гротендиком). Аналоги теорем Картана верны в большой общности: если E — квазикогерентный пучок на аффинной схеме X, то E порождается своими глобальными сечениями, и Hⁱ(X,E) = 0 для i > 0.^[6] Это связано с тем фактом, что категория квазикогерентных пучков на аффинной схеме X эквивалентна категории O(X)-модулей: эквивалентность переводит пучок E в O(X)-модуль H⁰(X,E).

Когомологии Чеха и когомологии проективного пространства

Как следствие зануления когомологий аффинных схем, для отделимой схемы X, аффинного открытого покрытия {U_i} схемы X и квазикогерентного пучка E на X, группы когомологий H*(X,E) изоморфны группам когомологий Чеха относительно открытого покрытия {U_i}.^[6] Другими словами, для вычисления когомологий X с коэффициентами в E достаточно знать сечения E на всех конечных пересечениях открытых аффинных подмножеств U_i.

Используя когомологии Чеха, можно вычислить когомологии проективного пространства с коэффициентами в любом линейном расслоении. А именно, для поля k, натурального числа n и целого числа j, когомологии проективного пространства Pⁿ над k с коэффициентами в линейном расслоении O(j) задаются следующим образом:^[7]

${\displaystyle H^{i}(\mathbf {P} ^{n},O(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0}\geq 0,\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&{\text{if }}i=0\\0&{\text{if }}i\neq 0{\text{ and }}i\neq n\\\bigoplus _{a_{0}<0,\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&{\text{if }}i=n.\end{cases}}}$

В частности, это вычисление показывает, что когомологии проективного пространства над k с коэффициентами в любом линейном расслоении конечномерны как векторные пространства над k.

Зануление этих групп когомологий в размерностях выше n является частным случаем теоремы Гротендика о занулении: для любого пучка абелевых групп E на нётеровом топологическом пространстве X размерности n< ∞ имеем Hⁱ(X,E) = 0 для всех i > n.^[8] Этот результат особенно полезен в случае, когда X является нётеровой схемой (например, алгебраическим многообразием над полем), а E — когерентным пучком.

Конечномерность когомологий

Для собственной схемы X над полем k и когерентного пучка E на X, группы когомологий Hⁱ(X,E) конечномерны как векторные пространства над k.^[9] В частном случае, когда X проективно над k, это доказывается сведением к случаю линейных расслоений на проективном пространстве, рассмотренному выше. Общий случай собственной схемы над полем доказывается сведением к проективному случаю при помощи леммы Чжоу^[англ.].

Конечномерность когомологий также имеет место для когерентных аналитических пучков на компактном комплексном пространстве. Картан и Серр доказали конечномерность в этой аналитической ситуации, используя теорему Шварца о компактных операторах в пространстве Фреше.

Конечномерность когомологий позволяет получить много интересных инвариантов проективных многообразий. Наример, если X — неособая проективная кривая над алгебраически замнутым полем k, то род X определяется как размерность векторного пространства H¹(X,O_X). Если k — поле комплексных чисел, он совпадает с родом пространства комплексных точек X(C) в классической (евклидовой) топологии. (В этом случае X(C) = X^an — замкнутая ориентированная поверхность.)

Двойственность Серра

Двойственность Серра является аналогом двойственности Пуанкаре для когомологий когерентных пучков. Для гладкой собственной схемы X размерности n над полем k существует естественное отображение следа Hⁿ(X,K_X) → k. Двойственность Серра для векторного расслоения E на X утверждает, что спаривание

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k}$

является совершенным спариванием для любого целого числа i.^[10] В частности, векторные пространства Hⁱ(X,E) и Hⁿ⁻ⁱ(X,K_X ⊗ E*) имеют одинаковую размерность. (Серр доказал также двойственность Серра для голоморфных векторных расслоений на компактном комплексном многообразии.) Теория двойственности Гротендика включает обобщения на произвольный когерентный пучок и произвольный собственный морфизм схем, но утверждения становятся менее элементарными.

Например, для неособой проективной кривой X над алгебраически замкнутым полем k, двойственность Серра утверждает, что размерность пространства 1-форм на X H⁰(X,Ω¹) = H⁰(X,K_X) совпадает с родом X (размерностью H¹(X,O)).

Теоремы GAGA

Теоремы GAGA связывают комплексные алгебраические многообразия с соответствующими аналитическими пространствами. Для схемы X конечного типа над C, существует функтор из когерентных алгебраических пучков на X в когерентные аналитические пучки на соответствующем аналитическом пространстве X^an. Основная теорема GAGA утверждает, что если X собственно над C, то этот функтор является эквивалентностью категорий. Более того, для любого когерентного алгебраического пучка E на собственной схеме X над C, естественной отображение

${\displaystyle H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E)}$

является изоморфизмом для всех i.^[11] (Первая группа определяется при помощи топологии Зарисского, а вторая — при помощи классической (евклидовой) топологии.) В частности, из эквивалентности между аналитическими и алгебраическими когерентными пучками на проективном пространстве следует теорема Чжоу о том, что любое замкнутое аналитическое подпространство CPⁿ алгебраично.

Теоремы о занулении

Тероема Серра о занулении утверждает, что для любого обильного линейного расслоения^[англ.]* L на собственной схеме X над нётеровым кольцом и любого когерентного пучка F на X, существует целое число m₀, такое, что для всех m ≥ m₀, пучок F ⊗ L^⊗m порождается глобальными сечениями и не имеет высших когомологий.^[12]

Хотя теорема Серра о занулении полезна, неизвестность числа m₀ может быть проблемой. Теорема Кодайра о занулении является важным явным результатом. А именно, если X — гладкое проективное многообразие над полем характеристики 0, L — обильное линейное расслоение на X и K_X — каноническое расслоение^[англ.]*, то

${\displaystyle H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0}$

для всех j > 0. Заметим, что теорема Серра гарантирует то же зануление для высоких степеней L. Теорема Кодайра о занулении и её обобщения играют фундаментальную роль для классификации алгебраических многообразий и в программе минимальных моделей. Теорема Кодайра о занулении не имеет места над полями положительной характеристики.^[13]

Примечания

1. Stacks Project, Tag 01LA Архивная копия от 3 сентября 2017 на Wayback Machine.
2. Grothendieck, EGA I, Corollaire 1.5.2.
3. Хартсхорн (1981), Пример III.12.7.2.
4. Grothendieck, EGA I, Ch. 0, 5.2.7.
5. Eisenbud (1995), Exercise 20.13.
6. Stacks Project, Tag 01X8, Архивировано 3 сентября 2017, Дата обращения: 30 сентября 2017 Источник  (неопр.). Дата обращения: 30 сентября 2017. Архивировано 3 сентября 2017 года..
7. Хартсхорн (1981), Теорема III.5.1.
8. Hartshorne (1977), Theorem III.2.7.
9. Stacks Project, Tag 02O3, Архивировано 23 декабря 2017, Дата обращения: 30 сентября 2017 Источник  (неопр.). Дата обращения: 30 сентября 2017. Архивировано 23 декабря 2017 года..
10. Хартсхорн (1981), Теорема III.7.6.
11. Grothendieck & Raynaud, SGA 1, Exposé XII.
12. Хартсхорн (1981), Теорема II.5.17 и Предложение III.5.3.
13. Michel Raynaud. Contre-exemple au vanishing theorem en caractéristique p > 0. In C. P. Ramanujam — a tribute, Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math. 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, (1978), pp. 273—278.

Литература

• Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
• David Eisenbud. Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1995. — ISBN 978-0-387-94268-1.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas». Publications Mathématiques de l’IHÉS. 4, 1960.