Клименко родился на Украине и до 15 лет жил в Мариуполе. В 14 лет Артём приезжал на просмотр в московский ЦСКА, но остался в юниорской команде «Азовмаша», подписав контракт на 2 года. Через год в мариупольском клубе начались проблемы, появились слухи, что в ближайшее время он может развалиться. В это время Артёму поступило предложение от «Автодора». Сначала Артём отказался, но спустя месяц принял приглашение. В ответ, руководство баскетбольного клуба «Азовмаш» обратилось в ФИБА, которая вынесла решение, что до 21 года Клименко не имел права играть за российские сборные[1].
В сезоне 2013/2014 провёл 35 игр в Суперлиге, набирая 13,4 очков 7,1 подбора в среднем за матч. По итогам чемпионата был включён в символическую сборную турнира как «Лучший центровой»[2].
Клименко выставлял свою кандидатуру на драфте НБА 2014 года, который состоялся 26 июня 2014 года[3], но задрафтован не был.
В сезоне 2016/2017 за «Автодор» Клименко в провёл 7 матчей в Лиге чемпионов, в среднем набирая по 9,6 очка, 5,3 подбора и 1,3 передачи за 19,3 минуты, а также 6 матчей в Единой лиге ВТБ, где его средняя статистика составила 6,7 очка, 4,5 подбора и 0,7 блок-шота за 17,4 минуты.
В декабре 2016 года Клименко перешёл в УНИКС на правах аренды до конца сезона 2016/2017[4].
В сентябре 2017 года Клименко продлил контракт с «Автодором» до конца сезона 2018/2019[5].
24 января 2018 года стал известен состав команд на «Матч всех звёзд» Единой лиги ВТБ. По итогам голосования болельщиков и СМИ Клименко попал в состав команды «Звёзды России»[6]. Из-за частичного разрыва задней поверхности правого бедра не смог принять участие в матче и его заменил Евгений Воронов[7].
В июле 2018 года Клименко вернулся в УНИКС подписав 1-летний контракт[8].
Сборная России
Летом 2016 года Клименко получил приглашение в «Открытый лагерь РФБ», по итогам которого несколько игроков смогут присоединиться к тренировкам основной сборной России[9]. После заключительного этапа подготовки и лагеря в целом, решением тренерского штаба во главе с Сергеем Базаревичем, Клименко продолжил работу с национальной командой[10], однако принять участие в отборочных матчах к чемпионату Европы-2017 не смог. Во время вечерней тренировки 30 августа в Перми, накануне старта сборной России в квалификационном турнире, Клименко получил травму правого плеча и вынужден был пропустить 3 официальных матча. Затем Артём продолжал восстанавливаться, оставаясь в расположении сборной России и тренируясь индивидуально. Когда стало известно, что Клименко не сможет сыграть за сборную в заключительном матче квалификационного турнира в Краснодаре 17 сентября, было принято решение о том, что он продолжит восстанавливаться и готовиться к предстоящему сезону в Саратове на базе «Автодора»[11].