Истинная аномалия

Истинная аномалия в небесной механике — угловой параметр, определяющий положение тела, движущегося по Кеплеровой орбите. Это угол между направлениями на перицентр и текущее положение тела, измеряемый из фокуса эллипса (точки, вокруг которой движется тело).

Истинная аномалия обычно обозначается греческими буквами ν или θ или латинской буквой f и обычно ограничивается до диапазона 0–360° (0–2π радиан).

Истинная аномалия точки P — угол f. Центр эллипса — точка C, фокус — точка F.

Истинная аномалия f — один из трёх угловых параметров (аномалий), определяющих положение тела на орбите. Другие два — эксцентрическая аномалия и средняя аномалия.

Формулы

Через векторы состояния

Для эллиптических орбит истинная аномалия ν может быть вычислена через орбитальные векторы состояния как:

${\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(если r ⋅ v < 0, следует заменить ν на 2π − ν)

где:

• v — вектор орбитальной скорости тела,
• e — вектор эксцентриситета,
• r — радиус-вектор тела (отрезок FP на рисунке).

Круговая орбита

Для круговых орбит истиная аномалия не определена, потому что у круговой орбиты нет однозначно определённого перицентра. Вместо этого используют аргумент широты u:

${\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(если r_z < 0, следует заменить u на 2π − u)

где:

• n — вектор, направленный на восходящий узел (т. е. его z-компонента n равна нулю).
• r_z — z-компонента радиус-вектора r

Круговая орбита с нулевым наклонением

Для круговых орбит с нулевым наклонением аргумент широты также не определён, поскольку нет однозначно определённой линии узлов. Вместо этого используют истинную долготу:

${\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}$

(если v_x > 0, следует заменить l на 2π − l)

где:

• r_x — x-компонента радиус-вектора r
• v_x — x-компонента вектора скорости v.

Через эксцентрическую аномалию

Связь между истинной аномалией ν и эксцентрической аномалией ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}$

или, используя синус^[1] и тангенс:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}$

что эквивалентно:

${\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}$,

то есть

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}$.

В качестве альтернативы была получена^[2] форма этого уравнения, позволяющая избежать проблем при аргументах, близких к ${\displaystyle \pm \pi }$, когда оба тангенса стремятся к бесконечности. К тому же, поскольку ${\displaystyle {\frac {E}{2}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$ всегда лежат в одном квадранте, не будет никаких проблем со знаками.

${\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}$, ге ${\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}$,

следовательно,

${\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}$.

Через среднюю аномалию

Истинная аномалия может быть вычислена напрямую из средней аномалии ${\displaystyle M}$ с помощью ряда Фурье:^[3]

${\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}}$

с функцией Бесселя ${\displaystyle J_{n}}$ и параметром ${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$.

Опуская все члены порядка ${\displaystyle e^{4}}$ и выше (на это указывает ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$), это можно записать как^[3][4][5]

${\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}$

Из соображений точности это приближение обычно ограничивается орбитами, где эксцентриситет ${\displaystyle e}$ мал.

Выражение ${\displaystyle \nu -M}$ называется уравнением центра.

Расстояние через истинную аномалию

Расстояние между фокусом и телом связано с истинной аномалией формулой

${\displaystyle r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!}$,

где a — большая полуось орбиты.

См. также

• Законы Кеплера
• Эксцентрическая аномалия
• Средняя аномалия
• Эллипс
• Гипербола

Примечания

1. Fundamentals of Astrodynamics and Applications by David A. Vallado
2. Broucke, R.; Cefola, P. (1973). "A Note on the Relations between True and Eccentric Anomalies in the Two-Body Problem". Celestial Mechanics. 7 (3): 388—389. Bibcode:1973CeMec...7..388B. doi:10.1007/BF01227859. ISSN 0008-8714. S2CID 122878026.
3. Battin, R.H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. — American Institute of Aeronautics & Astronautics, 1999. — P. 212 (Eq. (5.32)). — ISBN 978-1-60086-026-3. Архивная копия от 13 ноября 2023 на Wayback Machine
4. Smart, W. M. Textbook on Spherical Astronomy. — 1977. — P. 120 (Eq. (87)). Архивная копия от 22 марта 2023 на Wayback Machine
5. Roy, A.E. Orbital Motion. — 4. — Bristol, UK; Philadelphia, PA : Institute of Physics (IoP), 2005. — P. 78 (Eq. (4.65)). — ISBN 0750310154. Архивная копия от 15 мая 2021 на Wayback Machine

Литература

• Murray, C. D. & Dermott, S. F., 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4
• Plummer, H. C., 1960, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York. OCLC 1311887 (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)

Ссылки

• Federal Aviation Administration - Describing Orbits