Интеграл Пуассона

Не следует путать с Интеграл Эйлера — Пуассона.

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа

Интеграл Пуассона для задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре выглядит следующим образом.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: ${\displaystyle u(r,\varphi )\in C^{2}(D)\cap C({\overline {D}}),\ u_{0}(\varphi )\in C^{1}(\partial D)}$, где ∂D — граница шара D, а ${\displaystyle {\overline {D}}}$ — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

${\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{\omega _{n}R}}\int \limits _{\partial D}{\frac {u_{0}(\psi )}{|r-\psi |^{n}}}\,dS(\psi ),\ r\in [0;R),}$

где ω_n — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случае

Известно, что функция

${\displaystyle u(r,\varphi )=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(a_{n}\cos n\varphi +{\tilde {a}}_{n}\sin n\varphi )}$

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

${\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi +{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\left(\cos n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\sin(n\psi )d\psi \right)=}$${\displaystyle ={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(\cos n\varphi \cos n\psi +\sin n\varphi \sin n\psi )\right)d\psi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi =}$${\displaystyle ={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left({\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )\right)d\psi .}$

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\right)^{n}={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}{1-{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}}=}$${\displaystyle ={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\left(1-{\frac {r}{R}}e^{-i(\varphi -\psi )}\right)}{1-2{\frac {r}{R}}\cos(\varphi -\psi )+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}}={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\left(R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )\right)}}.}$

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:

${\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).}$

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области ${\displaystyle U}$ функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лапласа. Известно, что при конформном отображении области ${\displaystyle U}$ плоскости ${\displaystyle z=x+iy}$ на область ${\displaystyle V}$ плоскости ${\displaystyle w=\xi +i\eta }$ уравнение Лапласа для функции ${\displaystyle u(x,y)}$ переходит в уравнение ${\displaystyle \triangle u(\xi ,\eta )=0}$. С помощью дробно-линейной функции легко получить отображение исходного круга радиуса ${\displaystyle R}$ на единичный круг, при котором произвольная точка ${\displaystyle z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}}$ переходит в центр. Такая функция имеет вид:

${\displaystyle w=\rho e^{i\psi }=f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{z-{\frac {R^{2}}{{\bar {z}}_{0}}}}}=\lambda {\frac {z-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{z-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},}$

где ${\displaystyle \lambda }$ выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки ${\displaystyle |w|=1}$, при этом ${\displaystyle |\lambda |={\frac {R}{r_{0}}}}$, а ${\displaystyle {arg}(\lambda )}$ произволен. Искомая функция ${\displaystyle u(r,\varphi )}$ перейдёт в функцию ${\displaystyle U(\rho ,\psi )}$. Граничная функция ${\displaystyle u_{0}(\varphi )}$ перейдёт в ${\displaystyle U_{0}(\psi )=u_{0}(\varphi (1,\psi ))}$. Тогда по теореме о среднем:

${\displaystyle u(r_{0},\varphi _{0})=U\vert _{w=0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }U_{0}(\psi )d\psi .}$

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить ${\displaystyle U_{0}(\psi )}$ через ${\displaystyle u_{0}(\varphi )}$. Для граничных точек круга ${\displaystyle |z|\leqslant R}$ и круга ${\displaystyle |w|\leqslant 1}$ формула дробно-линейного преобразования даёт

${\displaystyle e^{i\psi }={\frac {R}{r_{0}}}{\frac {Re^{i\varphi }-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{Re^{i\varphi }-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},}$

откуда

${\displaystyle d\psi ={\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}d\varphi .}$

Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:

${\displaystyle u(r_{0},\varphi _{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}u_{0}(\varphi )d\varphi ,\ r_{0}\in [0,R).}$

Это выражение эквивалентно вышеприведённому:

${\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).}$

Задача Коши для уравнения теплопроводности

Однородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\\\end{array}}}$

где ${\displaystyle \varphi (x)}$ — начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция ${\displaystyle u=u(x,t)}$ является непрерывной и ограниченной при ${\displaystyle t\geq 0}$ и всех значениях аргумента ${\displaystyle x}$.

Фундаментальным решением или ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием ${\displaystyle \varphi (x)=\delta (x)}$, где ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t>0.}$

где ${\displaystyle |x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ — стандартный скалярный квадрат вектора ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши по следующей формуле^[1]:

${\displaystyle u(x,t)=\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi (x-y,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.}$

Неоднородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.\\\end{array}}}$

В этом случае интеграл Пуассона имеет вид^[2]:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+}$

${\displaystyle +\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (t-s)}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}(t-s)}}{\biggr )}\,f(y,s)\,dy\,ds.}$

Обобщения

По теореме Римана об области, связная односвязная область в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ конформно эквивалентна диску с метрикой Пуанкаре, то есть плоскости Лобачевского. Она допускает описание как однородное пространство, а именно ${\displaystyle \mathrm {SO} (2,1)/\mathrm {SO} (2)}$. Его ближайшими родственниками служат многомерное пространство Лобачевского ${\displaystyle \Lambda ^{n+1}=\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)}$, а также комплексное ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1}=\mathrm {SU} (n+1,1)/\mathrm {SU} (n+1)}$ и кватернионное ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {H} }^{n+1}=\mathrm {Sp} (n+1,1)/\mathrm {Sp} (n+1)}$ пространства Лобачевского.

В случае вещественного пространства Лобачевского аналог преобразования Пуассона для внешних форм Картана был найден П.-И. Гэйяром. Оно сопоставляет внешней форме, определённой на абсолюте, гармоническую козамкнутую форму на пространстве Лобачевского. Именно, пространство ${\displaystyle \Lambda ^{n+1}\times S^{n}}$, где ${\displaystyle S^{n}=\partial \Lambda ^{n+1}}$ — абсолют, является однородным пространством для группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)}$. На нём имеются инвариантные внешние формы ${\displaystyle \pi _{k}\in \Omega ^{k,n-k}(\Lambda ^{n+1}\times S^{n})}$ (то есть такие, которые, быть может, принимают ненулевые значения только при подстановке в них ${\displaystyle k}$ векторных полей, касающихся сомножителя ${\displaystyle \Lambda ^{n+1}}$ и ${\displaystyle n-k}$ векторных полей, касающихся сомножителя-абсолюта). Если ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(S^{n})}$, то интеграл Пуассона от неё определяется как послойный интеграл внешнего произведения ${\displaystyle p_{S^{n}}^{*}\alpha \wedge \pi _{k}}$, где ${\displaystyle p_{S^{n}}\colon \Lambda ^{n+1}\times S^{n}\to S^{n}}$ — проекция на сомножитель. Эти формы, в сущности, являются высшими ядрами Пуассона. Инвариантные формы на однородном пространстве могут быть заданы в одной точке, и взаимно однозначно соответствуют тривиальным подпредставлениям внешней степени соответствующего присоединённого представления группы, относительно которой пространство однородно; в случае вещественного пространства Лобачевского такие формы единственны с точностью до пропорциональности в силу одномерности соответствующего тривиального подпредставления.

В случае комплексного и кватернионного пространств Лобачевского эти подпредставления уже не одномерны, поэтому определить подобным образом какое-либо каноническое преобразование Пуассона не представляется возможным. Это, однако, возможно с учётом более тонкой геометрической структуры на абсолюте: именно, абсолют ${\displaystyle S^{2n+1}}$ комплексного пространства Лобачевского ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1}}$ (как и вообще граница всякого комплексного многообразия) имеет КР-структуру, то есть вполне неинтегрируемое распределение (которое, если реализовать сферу ${\displaystyle S^{2n+1}}$ как единичную сферу в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ можно определить в каждой точке ${\displaystyle x\in S^{2n+1}}$ как максимальное комплексное подпространство, содержащееся в касательном пространстве ${\displaystyle T_{x}S^{2n+1}}$ к сфере). В случае кватернионного пространства Лобачевского аналогичную роль играет так называемая кватернионно-контактная структура. Со всяким вполне неинтегрируемым распределением связан комплекс Рюмина, аналогичный комплексу де Рама гладкого многообразия. Его аналог, который может быть определён чисто в алгебраических терминах теории представлений, называется комплексом Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда. В нём имеются естественные операции, родственные элементу Казимира. Дополнительные условия на то, как должно себя вести ядро Пуассона относительно таких операций, позволяют выбрать его однозначно с точностью до пропорциональности.^[3]

Литература

• Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III. — Любое издание.
• Уроев В. М. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.

Примечания

1. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
2. Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, p. 156  (неопр.). Дата обращения: 11 июня 2015. Архивировано 27 марта 2016 года.
3. Andreas Cap, Christoph Harrach, Pierre Julg. A Poisson transform adapted to the Rumin complex Архивная копия от 2 июня 2019 на Wayback Machine, 2019