Моисей Абрамович Гринберг родился 19 июля 1904 года в Ростове-на-Дону. В 1928 году окончил музыкальный факультет Ростовского педагогического института (ныне Ростовский государственный педагогический университет) по классу фортепиано (педагог Василий Васильевич Шауб)[1].
После окончания института работал в концертных организациях и музыкальных изданиях в Ростове-на-Дону и в Москве. Член ВКП(б) с 1930 года. С 1936 года работал директором Государственного музыкального издательства «Музгиз», одновременно работал главным редактором журнала «Советская музыка» (1937—1939), организатором и первым редактором специализированной газеты «Музыка». Его сестра, Гринберг Зинаида Абрамовна (1892—1967), пианистка, преподавала в Ростовском училище искусств, награждена орденом Трудового Красного Знамени.
С 1937 года М. Гринберг состоял в Союзе композиторов СССР. С 1938 года работал также начальником Главного музыкального управления Всесоюзного комитета по делам искусств при Совнаркоме СССР.
Моисей Абрамович Гринберг скончался 13 октября 1968 года в Москве, похоронен вместе с женой, пианисткой Т. И. Гольдфарб (1914—1964) на Новодевичьем кладбище.
Гонтмахер М. А.. Евреи на донской земле: История. Факты. Биографии (рус.). — Изд. 2-е, испр. и доп. — Ростов-на-Дону: Ростиздат, 2007. — 857 с. — ISBN 978-5-7509-0921-6.