Воспитанник футбольной школы «Олимпия» из Хоби. Профессиональную карьеру в 1996 году в местной команде первой лиги, где выступал на протяжении четырёх лет. Провёл за клуб 82 встречи, в которых восемь раз забивал голы. В 2000 году Левани стал игроком молдавского клуба «Зимбру». Вместе с командой Гвазава дважды становился серебряным призёром первенства Молдавии, а также чемпионом и обладателем кубка страны. Всего в составе «Зимбру» Гвазава провёл 87 встреч, забив одиннадцать мячей.
В 2004 гуду Гвазава переехал в Россию, став игроком владикавказской «Алании». За два сезона провёл в составе «барсов» 23 матча в высшей лиге страны, забив один гол. После чего вернулся в Грузию, где на протяжении полугода был игроком батумского «Динамо».
Гвазава (22) в составе «Луча-Энергии»
Перед началом сезона 2006 года пополнил ряды новичка российской высшей лиги — «Спартака» из Нальчика. Провёл 22 игры, забил один гол. Летом 2007 года перешёл в стан другого клуба РПЛ — владивостокского «Луча», где выступал полтора года, проведя 36 встреч (4 гола) за основную команду клуба. После окончания сезона 2008 решил покинуть команду. В ряде источников появилась информация об интересе к игроку со стороны казанского «Рубина»[4], однако позднее Гвазава стал игроком грозненского «Терека». За три сезона Левани провёл в составе команды 60 встреч, дважды забивал голы. После окончания сезона 2011/12 игрок покинул команду по собственному желанию[5]. Причиной такого решения стали разногласия с главным тренером коллектива Станиславом Черчесовым[6].
В конце августа 2012 года Гвазава стал игроком подмосковных «Химок»[7]. Дебют Левани в новом клубе состоялся 6 сентября 2012 года в матче десятого тура первенства ФНЛ против «Нефтехимика». На двадцатой минуте этого матча Гвазава забил свой первый гол в составе химчан, реализовав пенальти[8]. В декабре 2012 года контракт с игроком был расторгнут по обоюдному согласию сторон[9].
В конце февраля 2014 года, после более чем годового перерыва в игровой практике, заключил контракт с командой высшей лиги Узбекистана «Нефтчи» из Ферганы.
2 сентября 2014 года заключил контракт с клубом футбольной национальной лиги «Анжи» из Махачкалы. Соглашение рассчитано до конца сезона 2014/15[10].
С 2019 года входил в тренерский штаб команды «Легион Динамо». В 2020—2021 годах возглавлял команду «Борадигях», участвовавшую в любительском первенстве Москвы в Дивизионе «Б»[12][13], с 2021 года также работал тренером в «Коломне», некоторое время был исполняющим обязанности главного тренера «Коломны»[14]. В сезоне 2022/23 находился в тренерском штабе Артёма Куликова[15] в «Сатурне»[16][17] и «Велесе»[18]. С июля 2023 года — в тренерском штабе махачкалинского «Легиона».
В сборной
Выступал за молодёжную команду Грузии, в составе которой провёл девять встреч, забив в них два гола. В августе 2010 года был приглашён в основную команду, но в расположение сборной не поехал, приняв решение не выступать за неё[6].
.svg){kind=small}
