Вложение Куратовского

Вложение Куратовского — определённое изометрическое вложение метрического пространства в банахово пространство непрерывных ограниченных функций на нём.

Построение

Пусть ${\displaystyle X}$ есть метрическое пространство и ${\displaystyle p\in X}$. Обозначим через ${\displaystyle dist_{x}:X\to \mathbb {R} }$ функцию расстояния от ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle X}$. Обозначим через ${\displaystyle C_{b}(X)}$ банахово пространство ограниченных непрерывных функций и нормой супремума, тогда изометрическое вложение

${\displaystyle \Phi _{p}:X\to C_{b}(X)}$

определённое как

${\displaystyle \Phi _{p}(x)=dist_{x}-dist_{p}}$

называется вложением Куратовского.

Замечания

• В случае если ${\displaystyle X}$ имеет конечный диаметр, отображение ${\displaystyle \Phi _{p}:X\to C_{b}(X)}$,

  ${\displaystyle \Phi (x)=dist_{x}}$

также называется вложением Куратовского.

История

Отображение впервые рассмотрено Куратовским в 1935 году^[1], однако практически такое же вложение с незначительной вариацией фигурировало в статье Фреше 1910 года^[2].

Применения

• Аналог вложения Куратовского даёт возможность рассматривать все компактные метрические пространства как подмножества одного универсального пространства. Этот факт используется в одном из определений сходимости по Громову — Хаусдорфу.

Литература

1. Kuratowski, C. Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-separables. Fund. Math. 25 (1935), 534—545.
2. Fréchet, M. Les dimensions d'un ensemble abstrait. Mathematische Annalen 68 (1910) 145—168.