Бюджетное множество

Бюджетное множество — понятие, используемое в микроэкономике (в теории потребительского поведения), обозначающее подмножество множества допустимых альтернатив (потребительских наборов) с учётом экономических (бюджетных) ограничений, под которыми понимаются ограничения расходов потребителя его доходами и (или) первоначальными запасами экономических благ.

Формальное определение

Пусть ${\displaystyle X}$ — множество (потенциально) допустимых альтернатив (потребительских наборов), ${\displaystyle p}$ — неотрицательный вектор цен экономических благ, ${\displaystyle R}$ — доход потребителя. Тогда бюджетное множество определяется как множество альтернатив ${\displaystyle x\in X}$, для которых выполнено неравенство ${\displaystyle px\leqslant R}$, то есть:

${\displaystyle B(p,R)=\{x\in X|px\leqslant R\}}$

Бюджетное ограничение может быть связано с начальным запасом благ ${\displaystyle x_{0}}$, то есть доходом в данном случае может быть только доход от продажи каких-то начальных запасов. Тогда бюджетное множество определяется следующим образом:

${\displaystyle B^{*}(p,x_{0})=\{x\in X|px\leqslant px_{0}\}=\{x\in X|p(x-x_{0})\leqslant 0\}}$

То есть стоимость покупок не превышает стоимость продаж.

Естественно, возможно также совмещение, то есть доход может быть как внешним, так и связанным с начальными запасами.

Свойства

В первую очередь бюджетные множества предполагаются непустыми. В случае бюджетного множества ${\displaystyle B(p,R)}$ для этого достаточно, чтобы доход ${\displaystyle R}$ был больше минимально необходимого для приобретения хотя бы одного допустимого набора, то есть ${\displaystyle R>\inf _{x\in X}px}$. В случае бюджетного множества ${\displaystyle B^{*}(p,x_{0})}$ это условие означает лишь то, что начальный вектор принадлежит допустимому множеству ${\displaystyle X}$, что изначально предполагается.

Бюджетное множество является замкнутым, ограниченным) и выпуклым множеством. Для ограниченности формально необходимо (и достаточно), чтобы вектор цен был строго больше нуля (то есть все цены должны быть положительными). Замкнутость и ограниченность бюджетного множества обеспечивают существование решения задачи потребителя (см. ниже).

Бюджетное множество ${\displaystyle B(p,R)}$ является «однородным нулевой степени», то есть если цены и доход умножить на одно и то же число, то получим то же бюджетное множество. В случае бюджетного множества ${\displaystyle B^{*}(p,x_{0})}$ это означает «однородность нулевой степени» по вектору цен.

При фиксированном векторе цен бюджетное множество с меньшим доходом является подмножеством бюджетного множества с большим доходом. При фиксированном доходе бюджетное множество с большими ценами является подмножеством бюджетного множества с меньшими ценами.

Задача потребителя

Основная статья: Задача потребителя

Бюджетное множество используется в так называемой прямой (маршаллианской) задаче потребителя, заключающейся в максимизации функции полезности ${\displaystyle u(x)}$ на бюджетном множестве альтернатив ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle {\begin{cases}u(x)\rightarrow \max \\x\in B\subset X\end{cases}}}$

В частности, для бюджетного ограничения по доходу задача имеет вид:

${\displaystyle {\begin{cases}u(x)\rightarrow \max \\px\leqslant R,x\in X\end{cases}}}$

При непрерывной функции полезности с учётом свойств компактности (ограниченности и замкнутости) бюджетного множества задача потребителя всегда имеет решение.

См. также

• Функция полезности
• Модель Эрроу-Дебрё

Литература

• Бусыгин В. П., Желободько Е. В., Цыплаков А. А. Микроэкономика - третий уровень. — Новосибирск, 2003.
• Черемных Ю. Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. — М.: ИНФРА-М, 2008. — 844 с.(Учебники экономического факультета МГУ и. М. В. Ломоносова)
• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — ISBN 978-5-7598-0335-5.