Борновское приближение

Борновское приближение в теории рассеяния применяется для вычисления рассеяния квантовых частиц в первом порядке теории возмущений.

Критерием применимости борновского приближения является, соответственно, критерий применимости теории возмущений. Так, для рассеяния частицы массы ${\displaystyle m\ }$ на потенциале ${\displaystyle V\ }$ действующем на расстоянии ${\displaystyle a\ }$, приближение заведомо применимо, если потенциальная энергия много меньше энергии нулевых колебаний ${\displaystyle E_{0}\ }$, т.е. ${\displaystyle V\ll E_{0}\sim \hbar ^{2}/m(a)^{2}\ }$. Если же ${\displaystyle V\ }$ не мало по сравнению с ${\displaystyle E_{0}\ }$, то приближение становится применимым для достаточно быстрой частицы, для которой характерная частота пребывания в поле потенциала много больше самого потенциала, т.е. когда ${\displaystyle V\ll \hbar v/a\sim E_{0}(a/\lambda )\ }$, где ${\displaystyle \lambda \ }$ есть дебройлевская длина волны частицы.

Для дифференциального сечения рассеяния (сечение в элемент телесного угла ${\displaystyle d\Omega }$) частицы с изменением импульса ${\displaystyle \hbar {\vec {q}}\ }$ в борновском приближении получается:

${\displaystyle d\sigma ={\frac {\mu ^{2}}{4\pi ^{2}\hbar ^{4}}}\left|\int V({\vec {r}})e^{-i{\vec {q}}{\vec {r}}}d^{3}r\right|^{2}d\Omega ,}$

где ${\displaystyle \mu }$ — приведённая масса.

Этот результат проще всего получить из вероятности перехода в непрерывном спектре плоских волн:

${\displaystyle w_{p'p}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|V_{p'p}\right|^{2}\delta (E_{p'}-E_{p})d\nu _{p'}}$,

где ${\displaystyle \nu _{p'}\ }$ есть плотность конечных состояний. Подставляя энергию свободной частицы ${\displaystyle E_{p}=p^{2}/(2m)\ }$ , вычисляя матричный элемент потенциала в базисе плоских волн ${\displaystyle \psi _{\vec {p}}({\vec {r}})=e^{i{\vec {p}}{\vec {r}}/\hbar }\ }$ и интегрируя по импульсу рассеянного (конечного) состояния ${\displaystyle p'\ }$, мы немедленно приходим к формуле Борна.

Амплитуда рассеяния в борновском приближении действительна и имеет вид:

${\displaystyle f=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int V({\vec {r}})e^{-i{\vec {q}}{\vec {r}}}d^{3}r.}$

Таким образом, в борновском приближении амплитуда рассеяния является Фурье-образом рассеивающего потенциала. Действительность амплитуды рассеяния означает малость её аргумента, то есть фазы рассеяния. В борновском приближении фазы рассеяния на центрально симметричном потенциале в состояниях с угловым моментом ${\displaystyle \hbar {\sqrt {l(l+1)}}}$, имеют вид:

${\displaystyle \delta _{l}=-{\frac {\pi m}{\hbar }}\int V(r)(J_{l+{\frac {1}{2}}}(qr))^{2}rdr,}$

где ${\displaystyle J_{l+{\frac {1}{2}}}(qr)}$ — функция Бесселя.

Литература

• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Прохоров А. М. (ред.). Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.