Квантовая теория рассеяния

Квантовая механика
Введение^[англ.] История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Локальная^[англ.] Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения Глоссарий^[англ.] ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Квантовая теория рассеяния — раздел квантовой механики, описывающий рассеяние частиц на изолированном рассеивающем центре. В простейшем случае, этот центр характеризуется потенциалом. Обычно предполагается, что потенциал стремится к нулю по мере удаления от рассеивающего центра.

Постановка задачи

Постановка задачи о квантовом рассеянии

В учебнике Ландау и Лифшица по квантовой механике^[1] задача о рассеянии ставится следующим образом.

На силовой центр падает пучок частиц с волновым вектором ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$ и плотностью ${\displaystyle N}$. Измеряется число частиц ${\displaystyle dN}$, которые попадают в детектор в единицу времени:

${\displaystyle dN=q(\theta ,\phi )Nd\Omega }$,

где ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \phi }$ сферические углы детектора в системе координат, начало которой помещено в рассеивающий центр (ось ${\displaystyle z}$ направлена вдоль вектора ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$, а ${\displaystyle d\Omega }$ — телесный угол, под которым детектор виден из начала координат. Для решения этой задачи рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\Delta +V(r)\right)\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})}$.

Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси ${\displaystyle z}$, описывается плоской волной: ${\displaystyle \psi ({\vec {r}})=\exp(i{\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {r}})}$. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида ${\displaystyle A(\theta ,\phi ){\frac {exp(ik_{0}r)}{r}}}$, следовательно, будем искать решение уравнения Шрёдингера со следующей асимптотикой на бесконечности:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx \exp(i{\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {r}})+A(\theta ,\phi ){\frac {\exp(ik_{0}r)}{r}}}$.

В результате решения этого уравнения мы получим амплитуду рассеяния ${\displaystyle A(\theta ,\phi )}$ и, следовательно, эффективное сечение рассеяния ${\displaystyle d\sigma =|A(\theta ,\phi )|^{2}d\Omega }$. При решении задач рассеяния в квантовой механике широко применяется метод фазовых функций.

Классическое и квантовое рассеяние

Вышеприведенная постановка задачи существенно отличается от классической теории рассеяния, где начальное условие характеризуется прицельным параметром. В квантовой механике понятие траектории теряет смысл, поэтому говорить о прицельном параметре некорректно.

Возможна формулировка задачи о рассеянии, которая допускает единую интерпретацию как в классической, так и в квантовой механике ^[2]

Обратная задача квантовой теории рассеяния

Обратная задача квантовой теории рассеяния — определение вида рассеивающего потенциала по известным характеристикам рассеяния в квантовой механике. Имеет большое практическое значение в экспериментальной физике элементарных частиц для интерпретации экспериментальных данных по рассеянию и определения различных характеристик элементарных частиц, не измеряемых непосредственно на опыте^[3]

Обратная задача квантовой теории рассеяния решена исчерпывающим образом для случев сферически симметричного потенциала ${\displaystyle V({\vec {x}})=v(r)}$, удовлетворяющего условию ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r\left|v(r)\right|dr<\infty }$, ^[4][5] а также для одномерного уравнения Шредингера^[3] и для систем уравнений с радиальными операторами^[6].

Сферически симметричный потенциал определяется по заданной для всех значений волнового вектора ${\displaystyle k}$ одной из фаз ${\displaystyle \eta _{l}(k)}$ S-матрицы ${\displaystyle S(k)=e^{-2i\eta (k)}}$. Если соответствующий радиальный оператор Шредингера ${\displaystyle H^{l}}$ имеет дискретный спектр, то потенциал определяется по фазе ${\displaystyle \eta _{l}(k)}$ неоднозначно^[4]

Примечания

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (неопр.). — 1989.
2. Ю.М.Широков. Единый формализм для квантовой и классической теорий рассеяния (рус.) // Теоретическая и математическая физика : журнал. — 1979. — Т. 38, № 3. — С. 313—319.
3. Л. Д. Фаддеев, “Обратная задача квантовой теории рассеяния” Архивная копия от 20 сентября 2018 на Wayback Machine, УМН, 14:4(88) (1959), 57–119; J. Math. Phys., 4 (1963), 72–104
4. Крейн, 1972, с. 453-454.
5. Л. Д. Фаддеев,“Обратная задача квантовой теории рассеяния. II” Архивная копия от 5 августа 2020 на Wayback Machine, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 3, ВИНИТИ, М., 1974, 93–180; J. Soviet Math., 5:3 (1976), 334–396
6. Агранович, 1959, с. 5.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
• С. Сунакава Квантовая теория рассеяния. - М., Мир, 1979. - 265 c.
• Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелявиcтской квантовой механике. - М., Наука, 1966.
• Ву Т. Ю., Омура Т. Квантовая теория рассеяния. - М., Наука, 1969.
• Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. - М., Мир, 1967.
• Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. - М., Мир, 1969.
• Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. - М., Мир, 1969.
• Мигдал А. Б., Крайнов В. П. Приближенные методы квантовой механики. - М., Наука, 1966.
• Жигунов, В. П., Захарьев, Б. Н. Методы сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. - М., Атомиздат, 1974. - 223 с.
• Де Альфаро, В., Редже, Т. Потенциальное рассеяние. - М., Мир, 1966. - 274 с.
• Крейн Г. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
• Агранович М. С., Марченко В. А. Обратная задача квантовой теории рассеяния. — М.: Физматгиз, 1959. — 267 с.