Родился в семье служащих. Окончил экстерном среднюю школу № 58 г. Воронеж. Учителем математики в его классе был известный педагог Сморгонский Давид Борисович.
В 1969 г., после окончания ВГУ, переехал в Москву вместе с М. А. Красносельским и группой его учеников. С 1969 по 1972 г. учился в аспирантуре Института проблем управления АН СССР (ИПУ АН СССР). Кандидат физико-математических наук (1972), название диссертации: «Фактор-методы приближенного решения нелинейных задач», научный руководитель М. А. Красносельский.
В 1972—2002 г. Н. А. Бобылёв работал в ИПУ АН СССР последовательно в должностях научного сотрудника, старшего научного сотрудника, ведущего научного сотрудника, заведующего лабораторией математических методов исследования сложных систем (с 1990). Доктор физико-математических наук (1988), название диссертации: «Деформационные методы исследования оптимизационных задач».
Опубликовал более 150 научных работ и ряд монографий, список которых приведён ниже. Подготовил 12 кандидатов физико-математических наук.
Научные результаты
Гомотопическая инвариантность минимума
Н. А. Бобылёв разработал гомотопический метод исследования экстремальных задач, в основе которого лежит открытый им принцип инвариантности минимума (деформационный метод).
Принцип инвариантности минимума
Пусть однопараметрическое семейство функций f(x, λ) определено на шаре с центром в начале координат, и имеет при каждом значении параметра λ единственную критическую точку - начало координат. Пусть при λ=0 эта критическая точка представляет собой локальный минимум. Тогда при всех остальных значениях λ она также будет локальным минимумом.
Деформационный метод привёл к существенным продвижениям в областях математики, так или иначе связанных с исследованием функций на экстремум.
Были найдены новые доказательства классических неравенств Коши, Юнга, Минковского, Йенсена, их обобщения, точные константы в этих неравенствах.
Разработаны новые методы исследования устойчивости траекторий динамических систем с непрерывным временем, в частности, градиентных, потенциальных и гамильтоновых систем.
Деформационный метод оказался полезным при исследовании разрешимости (в обобщённом смысле) краевых задач математической физики, в задачах вариационного исчисления, математического программирования. Он позволяет проводить анализ устойчивости решений, находить достаточные признаки минимума, исследовать вырожденные экстремали. Была выявлена связь теорем единственности краевых задач с признаками минимума интегральных функционалов. С помощью деформационного метода была решена известная проблема Улама о корректности вариационных задач[5]. Достаточно полно все эти результаты отражены в монографиях, приведённых ниже в списке основных работ.
Н. А. Бобылёв первоначально дал элементарное доказательство принципа инвариантности минимума, в котором не используется топологический аппарат. Применение топологических методов, основанных на использовании индекса Конли[англ.], позволяет дать очень простое доказательство принципа инвариантности минимума. Однако класс функций, к которым применима эта методика, существенно уже.
Естественное обобщение принципа инвариантности минимума — гомотопическую инвариантность индекса инерции гессиана[6], можно легко доказать топологическими методами[7]. Элементарное доказательство этого утверждения, несмотря на усилия многих математиков, пока не найдено.
Топологические инварианты
Исследование нелинейных задач топологическими методами — одно из важнейших направлений деятельности всей научной школы М. А. Красносельского. Эти работы базируются на применении топологических инвариантов, таких как вращение векторного поля, топологический индекс, эйлерова характеристика, род множества и др. к конкретным задачам. К этому направлению относится и большинство научных результатов Н. А. Бобылёва.
Н. А. Бобылёв разработал бесконечномерный вариант теории Пуанкаре о топологическом индексе устойчивого состояния равновесия, который имеет многочисленные приложения. Так, им было доказано, что уравнения Гинзбурга-Ландау, описывающие поведение сверхпроводника во внешнем магнитном поле, имеют неизвестное ранее неустойчивое решение, отвечающее седловой точке интеграла общей энергии сверхпроводника[8].
Н. А. Бобылёвым была предложена методика локализации предельных циклов в системах с хаотическим поведением траекторий, основанная на методах нелинейного функционального анализа (в частности, на применении метода функционализации параметра)[9].
Эффективным инструментом исследования нелинейных задач теории колебаний явились предложенные Н. А. Бобылёвым и М. А. Красносельским теоремы родственности[10]. Теоремы родственности выявляют связи между топологическими характеристиками нулей различных векторных полей, возникающих при исследовании конкретной задачи, и тем самым позволяют сравнительно просто вычислить эти характеристики. Эти теоремы нашли приложение в задачах о сходимости приближённых методов построения периодических решений систем автоматического регулирования с непрерывным временем, задачах о периодических колебаниях для систем с запаздыванием, при оценивании числа периодических решений нелинейных систем.
Используя понятие топологического индекса, Н. А. Бобылёв доказал ряд теорем о сходимости различных численных методов решения нелинейных задач оптимизации (метода гармонического баланса, метода механических квадратур, метода коллокации, метода Галеркина, фактор-методов, градиентных методов)[11].
Прикладные задачи теории управления
Н. А. Бобылёв принимал активное участие в научных исследованиях по проблемам управления, проводимых в ИПУ. Им был получен ряд важных результатов.
Для задач нелинейного программирования большой размерности, в которую нелинейно входит лишь небольшая часть переменных, разработал специальный численный метод оптимизации, обладающий высокой эффективностью в связи с учётом данной особенности задачи[12].
Существенно усилил результаты Б. Т. Поляка о выпуклости образов выпуклых множеств при гладких отображениях[13].
В теории робастной устойчивости предложил методику получения оценок радиуса устойчивости динамических систем[14][15][16][17].
Основные работы
Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Анализ на экстремум (вырожденные случаи). Препринт. — М.: ИПУ АН СССР, 1981. — 52 с. — 300 экз.
Бобылев Н. А. Вращение векторных полей в конечномерных пространствах. Препринт. — М.: Всесоюзный научно-исследовательский ин-т системных исследований, 1990. — 72 с. — 200 экз.
Бобылев Н. А., Климов В. С. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации. — М.: Наука, 1992. — 208 с. — 390 экз. — ISBN 5-02-006862-4.
Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Топологические мотоды в вариационных задачах. — М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ, 1997. — 108 с. — 300 экз. — ISBN 5-89407-012-0.
Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Геометрические мотоды в вариационных задачах. — М.: Изд-во Магистр, 1998. — 658 с. — 500 экз.
Bobylev N. A., Emel'yanov S. V., Korovin S. K. Geometrical Methods in Variational Problems. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1999. — Vol. 485. — 540 p. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-7923-5780-9.
Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылев Н. А., Булатов А. В. Гомотопии экстремальных задач. — М.: Наука, 2001. — 350 с. — 440 экз. — ISBN 5-02-002559-3.
Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Методы нелинейного анализа в задачах управления и оптимизации. — М.: УРСС, 2002. — 120 с. — 600 экз. — ISBN 5-354-00202-8.
Emel'yanov S. V., Korovin S. K., Bobylev N. A., Bulatov A. V. Homotopy of extremal problems: theory and applications. — Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2007. — Vol. 11. — 303 p. — (de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications). — ISBN 978-3-11-018942-1.
↑Bobylev N. A. On a Problem of S. Ulam (англ.) // Nonlinear analysis. Theory, Methods and Applications. — Oxford, UK: Elsevier Science Ltd., 1995. — Vol. 24, no. 3. — P. 309—322. — doi:10.1016/0362-546X(94)E0058-O.
↑Точная формулировка этой теоремы имеется в книге Бобылёв Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Геометрические методы в вариационных задачах. — М.: Изд-во Магистр. — 1998, стр.197 (см. раздел «Основные работы»).
↑Доказательство см., например, в кн. Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылёв Н. А., Булатов А. В. Гомотопии экстремальных задач. — М.: Наука. — 2001. — параграф 4.1.5 (см. раздел «Основные работы»).
↑Бобылев Н. А. О топологическом индексе экстремалей многомерных вариационных задач // Функциональный анализ и его приложения. — 1986. — Т. 20, № 2. — С. 8—13.
↑Бобылев Н. А., Булатов А. В., Коровин С. К., Кутузов А. А. Предельные циклы автономных систем // Доклады РАН. — 1996. — Т. 348, № 5.
↑Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифференциальные уравнения. — 1970. — № 11.
↑В этом направлении исследований Н. А. Бобылёва принимал участие его ученик Ю. М. Бурман, результаты стали предметом ряда статей и представлены в монографии Bobylev N. A., Burman Yu. M., Korovin S. K. Approximation Procedures in Nonlinear Oscillation Theory. — Walter de Gruyter. — 1994 (см. раздел «Основные работы»).
↑Бобылев Н. А., Заложнев А. Ю., Клыков А. Ю. Об одном подходе к решению задач математического программирования большой размерности // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 6.
↑Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. О выпуклости образов выпуклых множеств при гладких отображениях // Доклады РАН. — 2002. — Т. 385, № 3.
↑Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Оценки возмущений устойчивых матриц // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 4.
↑Bobylev N. A., Bulatov A. V., Diamond Ph. An easily computable estimate for the real instuctured Fstability radius (англ.) // International Journal of Control. — 1999. — Vol. 72, no. 6.
↑Бобылев Н. А., Булатов А. В. Оценка запаса устойчивости бесконечномерных систем // Доклады РАН. — 1999. — Т. 365, № 6.
↑Бобылев Н. А., Булатов А. В. Оценка вещественного радиуса устойчивости линейных бесконечномерных дискретных систем // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 7.
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук: 75 лет. — М.: ИПУ РАН, 2014. — 638 с. — ISBN 978-5-91450-148-5., с. 607—608.
