Tesseractul poate fi desfășurat în spațiul 3D în opt cuburi, la fel cum cubul poate fi desfășurat în șase pătrate în spațiul 2D. Există 261 de desfășurate diferite ale tesseractului.[1]
Tesseractul mai este cunoscut drept 4-cub, 8-celule, C8[3] și prismă cubică. Este hipercubul 4-dimensional, parte a familiei de hipercuburi (a politopurilor de măsură).[4]Coxeter îl notează cu .[5] Termenul de "hipercub" fără a menționa dimensiunea este frecvent folosit ca sinonim pentru tesseract.
Conform Oxford English Dictionary, cuvântul „tesseract” a fost inventat și folosit pentru prima dată în 1888 de Charles Howard Hinton în cartea sa A New Era of Thought (în românăO nouă eră de gândire). El provine din limba greacăτέσσερις ακτίνες (românăpatru raze), referindu-se la cele patru laturi care pleacă din fiecare vârf spre celelalte vârfuri.[6]
Geometrie
Tesseractul poate fi construit în mai multe moduri. Ca politop regulat cu trei cuburi pliate împreună în jurul fiecărei laturi, are simbolul Schläfli {4,3,3} cu simetria hiperoctaedrică de ordinul 384. Construit ca o hiperprismă 4D formată din două cuburi paralele, poate fi considerat un compus cu simbolul Schläfli {4,3} × { }, cu ordinul simetriei 96. Ca o duoprismă 4-4, un produs cartezian a două pătrate, poate fi descris printr-un simbol Schläfli compus {4}×{4}, cu ordinul simetriei 64. Ca ortotop poate fi descris prin simbolul Schläfli compozit { } × { } × { } × { } sau { }4, cu ordinul simetriei 16.
Tesseractul standard în 4-spațiul euclidian este dat de anvelopa convexă a punctelor (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Adică constă din puncte:
Un tesseract este delimitat de opt hiperplane (xi = ±1). Într-un tesseract fiecare pereche de hiperplane neparalele se intersectează pentru a forma 24 de fețe pătrate. Trei cuburi și trei pătrate se întâlnesc pe fiecare latură. Există patru cuburi, șase pătrate și patru laturi care se întâlnesc în fiecare vârf. Una peste alta, este format din 8 cuburi, 24 de pătrate, 32 de laturi și 16 vârfuri.
Proiecții în 2 dimensiuni
Schema generării unui tesseract dintr-un punctAnimație cu generarea unui tesseract dintr-un punct
Un hipercub poate fi construit în modul următor:
1-dimensional: Două puncte A și B pot fi conectate pentru a deveni un segment de dreaptă AB.
2-dimensional: Două segmente de dreaptă paralele AB și CD pot fi conectate pentru a deveni un pătrat, cu colțurile marcate ABCD.
3-dimensional: Două pătrate paralele ABCD și EFGH pot fi conectate pentru a deveni un cub, cu colțurile marcate ABCDEFGH.
4-dimensional: Două cuburi paralele ABCDEFGH și IJKLMNOP pot fi conectate pentru a deveni un tesseract, cu colțurile marcate ABCDEFGHIJKLMNOP.
Este posibil ca tesseractul să fie proiectat în spațiile tridimensional și bidimensional, similar cu proiectarea unui cub în spațiul bidimensional.
Proiecțiile în 2D devin mai instructive prin rearanjarea pozițiilor vârfurilor proiectate. Astfel se pot obține imagini care deși nu mai reflectă relațiile spațiale din tesseract, ilustrează structura conexiunilor vârfurilor, cum ar fi în următoarele exemple.
Un tesseract se obține în principiu prin combinarea a două cuburi. Schema este similară cu construcția unui cub din două pătrate: se juxtapun două copii ale cubului cu dimensiuni inferioare și se conectează vârfurile corespunzătoare. Fiecare latură a unui tesseract are aceeași lungime. Această vizualizare prezintă interes atunci când se utilizează tesseractele ca baze într-o topologie de rețea în care sunt legate mai multe procesoare pentru calcul paralel: distanța dintre două noduri este de cel mult 4 și există multe căi diferite pentru a permite echilibrarea încărcării.
Proiecții paralele în 3 dimensiuni
Proiecții paralele ale anvelopelor tesseractului (fiecare celulă este desenată cu fețe de diferite culori, celulele inversate nu sunt desenate)
Proiecția paralelă cu o celulă în față a tesseractului în spațiul tridimensional are o anvelopă cubică. Cea mai apropiat și cea mai îndepărtată celulă sunt proiectate pe cub, iar restul de șase celule sunt proiectate (degenerate în 3D) pe cele șase fețe pătrate ale cubului.
Proiecția paralelă cu o față în față a tesseractului în spațiul tridimensional are o anvelopă coboidă. Două perechi de celule se proiectează pe jumătățile superioare și inferioare ale acestei anvelope, iar cele patru celule rămase se proiectează pe fețele laterale.
Proiecția paralelă cu o latură în față a tesseractului în spațiul tridimensional are o anvelopă în formă de prismă hexagonală. Șase celule se proiectează pe prismele rombice, care sunt situate în prisma hexagonală într-un mod analog modului în care fețele cubului 3D se proiectează pe șase romburi într-un anvelopă hexagonală dintr-o proiecție cu un vârf în față. Cele două celule rămase se proiectează pe bazele prismei.
Proiecția paralelă cu un vârf în față a tesseractului în spațiul tridimensional are o anvelopă în formă de dodecaedru rombic. Două vârfuri ale tesseractului sunt proiectate în origine. Există două moduri de disecare a unui dodecaedru rombic în patru romboedre congruente, oferind un total de opt romboedre posibile, fiecare fiind proiecția unei celule a tesseractului. Această proiecție este cea cu volum maxim. Un set de vectori de proiecție sunt u = (1, 1, −1, −1), v = (−1, 1, −1, 1), w = (1, −1, −1, 1).
Galerie de imagini
Proiecții în perspectivă
Perspectivă cu eliminarea volumului ascuns. Colțul roșu este cel mai apropiat în 4D și în el se întâlnesc 4 celule cubice
Proiecție stereoscopică 3D a tesseractului (imaginea stereo apare fixând privirea „la infinit”)
Animații
Proiecție 3D a unui tesseract executând o rotație simplă în planul care divide obiectul dinspre față–stânga spre spate–dreapta și de sus în jos
Proiecție 3D a unui tesseract executând o rotație în două plane ortogonale
Grafuri
Dodecaedrul rombic formează anvelopa convexă a proiecției paralele cu un vârf în față. Numărul vârfurilor pe nivelele acestui graf este 1 4 6 4 1 — al cincilea rând din triunghiul lui Pascal
Tetraedrul formează anvelopa convexă a proiecției centrale centrată pe un vârf al tesseractului. Sunt prezentate patru din cele 8 celule cubice. Cel de-al 16-lea vârf este proiectat la infinit iar cele patru laturi care se întâlnesc în el nu sunt reprezentate.
Animație care arată succesiv cele opt cuburi în cadrul proiecției planului Coxeter B4 al tesseractuluiDemonstrație vizuală că graful unui tesseract nu este un graf planar, pe baza teoremelor lui Kuratowski sau Wagner și găsirii tuturor subgrafurilor K5 (sus) sau K3,3 (jos)
Destanța de la centru la vârf a tesseractului este egală cu lungimea laturii sale; astfel diagonala sa prin centru (de la un vârf la vârful opus) este de 2 lungimi ale laturii. Numai câteva politopuri uniforme au această proprietate, inclusiv tesseractul și 24-celule, cuboctaedrul tridimensional și hexagon bidimensional. Tesseractul este singurul hipercub cu această proprietate. (Strict vorbind, hipercuburile cu 0 dimensiuni (un punct) și 1 dimensiune (un segment de dreaptă) sunt, de asemenea, echilaterale radial.) Cea mai lungă distanță vârf la vârf a unui n-hipercub cu lungimea muchiei egală cu unitatea este √n, deci pentru pătrat este √2, pentru cub este √3, iar numai pentru tesseract este √4, exact lungimea a două laturi.
Teselare
Tesseractul, ca toate hipercuburile, teselează spațiul euclidian. Fagurele tesseractic autodual format din 4 tesseracte în jurul fiecărei fețe are simbolul Schläfli {4,3,3,4}. Prin urmare, tesseractul are un unghi diedru de 90°.[7] Simetria echilaterală radială a tesseractului face ca teselarea sa să fie singura rețea cubică regulată centrată pe corp în orice număr de dimensiuni.
Tesseractul însuși poate fi descompus în politopuri mai mici. De exemplu, poate fi triangulat în 4-simplexuri care au aceleași vârfuri cu tesseractul. Se știe că există 92487256 astfel de triangulări[8] și că cel mai mic număr de 4-simplexuri din oricare dintre ele este 16.[9]
Poligon complex asociat
Ortogonal
Perspectivă
4{4}2, cu 16 vârfuri și 8 4-fețe, 4 dintre ele fiind colorate roșu și celelalte 4 albastru
Politopul complex regulat4{4}2, , în are o reprezentare reală în spațiul 4-dimensional ca tesseract sau 4-4 duoprismă. 4{4}2 are 16 vârfuri și 8 4-laturi. Simetria sa este 4[4]2, ordinul 32. Are și o construcție cu o simetrie mai mică, sau 4{}×4{}, cu simetrie 4[2]4, ordinul 16. Aceasta este simetria dacă 4-laturile roșii și albastre sunt considerate distincte.[10]
Politopuri și faguri asociați
Ca duoprismă uniformă, tesseractul există într-o secvență de duoprisme uniforme: {p}×{4}.
Tesseractul regulat împreună cu 16-celule, face parte dintr-un set de 15 4-politopuri uniforme cu aceeași simetrie. Tesseractul {4,3,3} face parte dintr-o secvență de 4-politopuri și faguri, {p,3,3} cu figurile vârfului tetraedre, {3,3}. De asemenea, tesseractul face parte din secvența de 4-politopuri și faguri regulați, {4,3,p} cu celule cubice.
În cultura populară
De la descoperirea lor, hipercuburile cu patru dimensiuni au fost o temă populară în artă, arhitectură și science fiction. Exemple notabile sunt:
And He Built a Crooked House (românăȘi el construi o casă în dungă, o casă în dungă) de Robert Heinlein, o povestire științifico-fantastică din 1940, descrie o casă în formă de un hipercub în 4 dimensiuni.[11][12] Acesta, împreună cu Martin Gardner, care a publicat în 1946 povestirea "The No-Sided Professor", sunt printre primii din domeniul științifico-fantastic care au popularizat banda lui Möbius, sticla lui Klein și hipercubul (tesseractul).
Grande Arche, un monument și o clădire lângă Paris, finalizată în 1989. Potrivit proiectantului monumentului, Erik Reitzel, Grande Arche a fost făcut să semene cu proiecția unui hipercub.[14]
Cubul Cosmic, redenumit Tesseract, în Universul Cinematografic Marvel.[15]
^en Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Ed. a II-a, Cambridge University Press, 1991
^Fowler, David (), „Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction”, World Literature Today, 84 (3): 48–52, JSTOR27871086
^en Henderson, Linda Dalrymple (noiembrie 2014), „Science Fiction, Art, and the Fourth Dimension”, În Emmer, Michele, Imagine Math 3: Between Culture and Mathematics, Springer International Publishing, pp. 69–84, doi:10.1007/978-3-319-01231-5_7
enCoxeter, H.S.M. (). Regular Polytopes (ed. 3rd). New York: Dover. pp. 122–123.
en F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (1995) Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, Wiley-Interscience Publication ISBN: 978-0-471-01003-6[1]
(Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
(Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
(Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
enJohn H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008) The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1n1)
enT. Gosset (1900) On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan.
enThe TesseractArhivat în , la Wayback Machine. Ray traced images with hidden surface elimination. This site provides a good description of methods of visualizing 4D solids.
de Marco Möller, Der 8-Zeller: Politopuri regulate în ℝ4
enHyperSolids is an open source program for the Apple Macintosh (Mac OS X and higher) which generates the five regular solids of three-dimensional space and the six regular hypersolids of four-dimensional space.
.gif)
