Marele icosicosidodecaedru

Marele icosicosidodecaedru
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	52 (20 triunghiuri,       12 pentagoane,       20 hexagoane)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	−8
Configurația vârfului	5.6.3/2.6[1]
Simbol Wythoff	3/2 5 | 3[1] sau 3 5/4 | 3
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Ih, [5,3], (*532) [1]
Volum	≈11,615 a^3   (a = latura)
Poliedru dual	marele hexacontaedru icosacronic
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie marele icosicosidodecaedru este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₄₈. Are 52 de fețe (20 de triunghiuri, 12 pentagoane și 20 de hexagoane), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi. Având 52 de fețe este un pentacontadiedru.

Are simbolul Wythoff 3/2 5 | 3^[1] sau 3 5/4 | 3 și diagrama Coxeter–Dynkin .

Figura vârfului este un antiparalelogram.

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Având în comun vârfurile cu dodecaedrul trunchiat, coordonatele carteziene ale vârfurilor unui dodecaedru trunchiat cu lungimea laturii 2φ − 2, centrat în origine,^[2][3] sunt toate permutările pare ale:

${\displaystyle \left(\,0,\,\pm (\varphi -1),\,\pm (\varphi +2)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\varphi -1),\,\pm \varphi ,\,\pm 2\varphi \,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm {\varphi },\,\pm 2,\,\pm (\varphi +1)\,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii a este:^[4]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {34-6{\sqrt {5}}}}\,a\approx 1,134229\,a.}$

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V=\left({\frac {29}{3}}{\sqrt {5}}-10\right)\,a^{3}\approx 11,615324~a^{3}.}$

Poliedre înrudite

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu dodecaedrul trunchiat. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu marele dodecicosidodecaedru ditrigonal (având fețele triunghiulare și pentagonale în comun) și cu marele dodecicosaedru (având în comun fețele hexagonale).

Dodecaedru trunchiat

Marele icosicosidodecaedru

Marele dodecicosidodecaedru ditrigonal

Marele dodecicosaedru

Dual: Marele hexacontaedru icosacronic

Poliedru dual

Dualul său este marele hexacontaedru icosacronic.^[5]

Note

1. ^ en Maeder, Roman. „48: great icosicosidodecahedron”. MathConsult. Accesat în 24 decembrie 2023. 
2. en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
3. en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
4. en Eric W. Weisstein, Great icosicosidodecahedron la MathWorld.
5. en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• en Uniform polyhedra and duals

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: giid