Marele dodecicosaedru

Marele dodecicosaedru
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	32 (20 hexagoane,       12 decagrame)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	−28
Configurația vârfului	6.10/3.6/5.10/7[1]
Simbol Wythoff	3 5/3 (3/2 5/2) |[1]
Diagramă Coxeter	(acoperire dublă triunghiuri) (acoperire dublă pentagoane)
Grup de simetrie	Ih, [5,3], (*532) [1]
Poliedru dual	marele dodecicosacron
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie marele dodecicosaedru este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₆₃. Are 32 de fețe (20 hexagoane și 12 decagrame), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Având 32 de fețe este un icosidodecaedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Figura vârfului este un antiparalelogram. Are un simbol Wythoff compus, 3 5/3 (3/2 5/2) |, pentru a-l genera necesitând două triunghiuri Schwarz diferite: (3 5/3 3/2) și (3 5/3 5/2) . (3 5/3 3/2 | reprezintă pe marele dodecicosaedru cu un plus de 12 {10/2} pentagoane, iar 3 5/3 5/2 | îl reprezintă cu un plus de 20 6/2 triunghiuri.)^[2]

Însă figura vârfului 6.10/3.6/5.10/7 este și ea ambiguă, având în jurul fiecărui vârf câte două fețe stelate în sens direct și câte două stelate retrograd.

Imagini

Colorare tradițională

Colorare modulo-2

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Având în comun vârfurile cu marele dodecicosidodecaedru ditrigonal, coordonatele carteziene ale vârfurilor unui mare dodecicosaedru cu lungimea laturii 2 centrat în origine,^[3][4] sunt toate permutările pare ale:

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 2(\varphi -1),\,\pm \varphi \,\right)}$

${\displaystyle \left(\,0,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm {\sqrt {5}}\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm (2-\varphi )\,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii a este:^[5]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {34-6{\sqrt {5}}}}\,a\approx 1,134229\,a.}$

Poliedre înrudite

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu dodecaedrul trunchiat. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu marele icosicosidodecaedru (având în comun fețele hexagonale) și cu marele dodecicosidodecaedru ditrigonal (având fețele decagramice în comun).

Dodecaedru trunchiat

Marele icosicosidodecaedru

Marele dodecicosidodecaedru ditrigonal

Marele dodecicosaedru

Dual: Marele dodecicosacron

Poliedru dual

Dualul său este marele dodecicosacron.^[6]

Note

1. ^ en Maeder, Roman. „63: great dodecicosahedron”. MathConsult. Accesat în 23 noiembrie 2023. 
2. en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.  p. 9–10.
3. en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
4. en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
5. en Eric W. Weisstein, Great Dodecicosahedron la MathWorld.
6. en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• en Uniform polyhedra and duals

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: giddy