Geodezică închisă

În geometria diferențială o geodezică închisă pe o varietate riemanniană^⁠(d) este o geodezică care se întoarce la punctul său de pornire având aceeași direcție a tangentei. Poate fi formalizată ca proiecția unei orbite închise a fluxului geodezic în spațiul tangent^⁠(d) al varietății.

Definiție

Într-o varietate riemanniană (M,g), o geodezică închisă este o curbă ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow M}$ care este o geodezică în metrica g și este periodică.

Geodezicele închise pot fi caracterizate prin intermediul unui principiu variațional. Notând cu ${\displaystyle \Lambda M}$ spațiul curbelor netede 1-periodice pe M, geodezicele închise din perioada 1 sunt tocmai punctele critice^⁠(d) ale funcției de energie ${\displaystyle E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R} }$, definită de

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

Dacă ${\displaystyle \gamma }$ este o geodezică închisă a perioadei p, curba reparametrizată ${\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)}$ este o geodezică închisă a perioadei 1 și, prin urmare, este un punct critic al lui E. Dacă ${\displaystyle \gamma }$ este un punct critic al lui E, la fel sunt curbele reparametrizate ${\displaystyle \gamma ^{m},}$ pentru fiecare ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,}$ definit de ${\displaystyle \gamma ^{m}(t):=\gamma (mt).}$ Astfel, fiecare geodezică închisă pe M dă naștere la o succesiune infinită de puncte critice ale energiei E.

Exemple

Pe sfera unitate ${\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ cu metrica riemanniană rotundă standard, fiecare cerc mare este un exemplu de geodezică închisă. Astfel, pe sferă toate geodezicele sunt închise. Pe o suprafață netedă echivalentă topologic cu sfera, acest lucru poate să nu fie adevărat, dar există întotdeauna cel puțin trei geodezice închise simple; aceasta este teorema celor trei geodezice.^[1] Varietăți ale căror geodezice sunt închise au fost investigate amănunțit în literatura de specialitate. Pe o suprafață^⁠(d) hiperbolică compactă, al cărei grup fundamental nu are torsiune^⁠(d), geodezicele închise sunt în corespondență biunivocă cu clasele de conjugare^⁠(d) netriviale de elemente din grupul fuchsian^⁠(d) al suprafeței.

Note

1. en Grayson, Matthew A. (1989), „Shortening embedded curves” (PDF), Annals of Mathematics, Second Series, 129 (1): 71–111, doi:10.2307/1971486, JSTOR 1971486, MR 0979601 

Bibliografie

• en Arthur Besse, „Manifolds all of whose geodesics are closed”, Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978