Curbură constantă

În matematică curbura constantă este un concept din geometria diferențială. Aici, curbura se referă la curbura secțională a unui spațiu (mai exact, a unei varietăți) și determină geometria locală a acesteia printr-un singur număr. Se spune că curbura secțională este constantă dacă are aceeași valoare în fiecare punct și pentru fiecare plan tangent bidimensional în acel punct. De exemplu, o sferă este o suprafață cu curbură pozitivă constantă.

Clasificare

O varietate riemaniană^⁠(d) cu curbură constantă poate fi clasificată în următoarele trei cazuri:^[1]

• geometrie eliptică – cu curbură secțională constantă pozitivă, exemplul tipic fiind sfera,
• geometrie euclidiană – cu curbură secțională constantă nulă, exemplul tipic fiind planul,
• geometrie hiperbolică – cu curbură secțională constantă negativă, exemplul tipic fiind pseudosfera.

Proprietăți

• Orice spațiu de curbură constantă este local simetric^⁠(d), adică tensorul de curbură este paralel ${\displaystyle \nabla \mathrm {R} =0}$.
• Orice spațiu de curbură constantă este local maximum de simetric, adică are un număr de ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ izometrii locale^⁠(d), unde ${\displaystyle n}$ este dimensiunea spațiului.
• Invers, există o afirmație similară, dar mai puternică: orice spațiu maximum de simetric, adică un spațiu care are ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ izometrii (globale), are curbură constantă.
• (Teorema Killing–Hopf) acoperirea universală a unei varietăți cu curbură secțională constantă este unul dintre modelele de spațiu:
  • sferă (curbură secțională pozitivă),^[1]
  • plan^⁠(d) (curbura secțională zero),^[1]
  • varietate hiperbolică (curbură secțională negativă),^[1]
• Un spațiu de curbură constantă care este geodezic complet se numește formă spațială^[2], iar studiul formelor spațiale este strâns legat de cristalografia generalizată.
• Două forme spațiale sunt izomorfe dacă și numai dacă au aceeași dimensiune, metricile lor au aceeași semnătură, iar curburile lor secționale sunt egale.

Note

1. ^ Mihai Anastasiei, Capitolul 5: Clase remarcabile de suprafețe (curs, pp. 117–118), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-25
2. Raportare științifică, p. 2, Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-25

Bibliografie

• en Moritz Epple (2003) From Quaternions to Cosmology: Spaces of Constant Curvature ca. 1873 — 1925, invited address to International Congress of Mathematicians
• en Frederick S. Woods (1901). „Space of constant curvature”. The Annals of Mathematics. 3 (1/4): 71–112. doi:10.2307/1967636. JSTOR 1967636.