Reticulado

 Nota: Se procura outros sentidos do termo, veja Retículo (grupo).

Reticulado das partições de um conjunto com 4 elementos.

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.

Reticulados como estruturas algébricas

De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L, ${\displaystyle \lor ,\land }$), consistindo de um conjunto L e duas operações ${\displaystyle \lor }$, e ${\displaystyle \land }$, sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.

Leis Comutativas ${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$, ${\displaystyle a\land b=b\land a}$.

Leis Associativas ${\displaystyle a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c}$, ${\displaystyle a\land (b\land c)=(a\land b)\land c}$.

Lei de Absorção ${\displaystyle a\lor (a\land b)=a}$, ${\displaystyle a\land (a\lor b)=a}$.

As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.^[1]

Leis de Idempotência

${\displaystyle a\lor a=a}$,

${\displaystyle a\land a=a}$.

Exemplos

• Seja ${\displaystyle A^{\,}}$ um conjunto não vazio e ${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)}$ o conjunto potência ou conjunto das partes de ${\displaystyle A^{\,}}$. Além disso, seja ${\displaystyle \subseteq ^{\,}}$ a relação de inclusão de conjuntos. Então ${\displaystyle \left\langle {\mathcal {P}}\left(A\right),\subseteq \right\rangle }$ é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.

• Seja ${\displaystyle \left\langle A,\leq \right\rangle }$ um conjunto totalmente ordenado, isto é, ${\displaystyle \leq ^{\,}}$ é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.

Semirreticulados

• Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
• Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.

Referências

1. ${\displaystyle a\lor a=a\lor (a\land (a\lor a))=a}$, and dually for the other idempotent law. Dedekind, Richard (1897), «Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler», Braunschweiger Festschrift: 1–40 .

Bibliografia

• BIRKHOFF, Garrett (1948). Lattice Theory (em inglês). New York: American Mathematical Society 

• DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (em inglês) 2nd. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

• ROMAN, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (em inglês). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2 

• Portal da matemática
• Portal da lógica

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e