Número esfênico

Trinta é um número esfênico

Um número esfênico (do grego antigo σφήνα) é um número inteiro positivo que é o produto de três fatores primos distintos. A função de Möbius retorna -1 para todo número esfênico. ^[1]

Note que essa definição é mais restringente que se exigisse simplesmente que o inteiro tivesse exatamente três fatores primos; exemplo: 60 = 2² × 3 × 5 tem exatamente 3 fatores primos, mas não é esfênico.

Todos os números esfênicos têm exatamente oito divisores. Se o número esfênico for expresso como ${\displaystyle n=x\cdot y\cdot z}$, então seus divisores serão (possivelmente não ordenados):

${\displaystyle \left\{1,\ x,\ y,\ z,\ xy,\ xz,\ yz,\ n\right\}}$

Os primeiros números esfênicos são: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, ... (sequência A007304 na OEIS)

Números esfênicos consecutivos

O menor par de números consecutivos esfênicos é (230, 231), uma vez que 230 = 2×5×23 e 231 = 3×7×11. A menor tripla de números consecutivos esfênicos é (1309, 1310, 1311), já que 1309 = 7×11×17, 1310 = 2×5×131, e 1311 = 3×19×23. Não existe uma sequência de números esfênicos consecutivos com mais de 3 elementos. Em outras palavras, para cada n-upla (lê-se ênupla) ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})}$:

• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$ podem ser esfênicos se e somente se ${\displaystyle n=2}$ ou ${\displaystyle n=3}$;

• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$ não são esfênicos ${\displaystyle \forall \ n\geq 4.}$

As primeiras triplas de números esfênicos são:

(1309, 1310, 1311), (1885, 1886, 1887), (2014, 2015, 2016), (2665, 2666, 2667), ... (sequência A165936 na OEIS)

Maior número esfênico conhecido

Uma vez que existem infinitos números primos, também existem infinitos números esfênicos.

O maior número esfênico conhecido é ^[2]

(2^74.207.281 − 1) × (2^57.885.161 − 1) × (2^43.112.609 − 1).

Produto dos três maiores números primos conhecidos. Foi definido em janeiro de 2016.

Divisão entre números consecutivos

Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos:

Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par

Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar

Caso 1 -

Sejam dois números consecutivos ${\displaystyle A,B}$ com ${\displaystyle A>B}$ e de paridade par.

A divisão ${\displaystyle A/B=1+1/B}$ e a outra divisão ${\displaystyle B/A=1-1/A}$

Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números, com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.

No nosso sistema decimal a decomposição única do número ${\displaystyle 10}$ é ${\displaystyle 10=2.5}$ , então a fração ${\displaystyle 1/B}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle B=5^{n}}$ pois ${\displaystyle B}$ é um número de paridade impar.

A fração ${\displaystyle 1/A}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle A=2^{m}.a^{n}}$ onde ${\displaystyle a=10}$ .

A expressão ${\displaystyle 5^{n}}$ termina sempre no número ${\displaystyle 25}$ exceto para ${\displaystyle n=1}$ .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número ${\displaystyle A}$ tem que terminar em ${\displaystyle 26}$ exceto para o primeiro caso onde ${\displaystyle A=6}$ , e o número ${\displaystyle A}$, terá que ser da forma ${\displaystyle 2^{m}}$ onde a expressão ${\displaystyle 1/A}$ não será uma dizima infinita.

Como os números da forma ${\displaystyle 2^{m}}$ com o algarismo ${\displaystyle 6}$ na última posição são sempre terminados em ${\displaystyle 16,56,96,36,76}$, jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo ${\displaystyle 25,26}$ e com a propriedade de serem da forma ${\displaystyle 5^{n},2^{m}}$ .

Esta divisão é aplicada na solução para o Ultimo Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal.

Caso 2

Sejam dois números consecutivos ${\displaystyle B,A}$ com ${\displaystyle B>A}$ e de paridade impar.

A divisão ${\displaystyle B/A=1+1/A}$ e a outra divisão ${\displaystyle A/B=1-1/B}$

Na imensa maioria dos casos, cada uma destas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

No nosso sistema decimal a composição única do número ${\displaystyle 10}$ é ${\displaystyle 10=2.5}$ , então a fração ${\displaystyle 1/A}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle A=2^{m}}$ .

A fração ${\displaystyle 1/B}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle B=5^{n}}$

A expressão ${\displaystyle 5^{n}}$ termina sempre no número ${\displaystyle 25}$ exceto para ${\displaystyle n=1}$ .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número ${\displaystyle A}$ tem que terminar em ${\displaystyle 24}$ , exceto para o primeiro caso onde ${\displaystyle A=4}$ , e o número ${\displaystyle A}$ terá que ser da forma ${\displaystyle 2^{m}}$, onde a expressão ${\displaystyle 1/A}$ não será uma dizima infinita. O valor de ${\displaystyle A}$ só termina em ${\displaystyle 24}$ , para ${\displaystyle m=10,30,50,70,90,110...}$ e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em ${\displaystyle 25}$ é da forma ${\displaystyle 5^{n}}$., impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em ${\displaystyle 24,25}$ que sejam da forma ${\displaystyle 2^{m},5^{n}}$.

Ligações externas

da On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, em inglês.

«Números esfênicos» 

Referências

1. Emma Lehmer, "On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial", Bulletin of the American Mathematical Society 42 (1936), nº 6, pág. 389–392.[1].
2. http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3

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