Método da direção implícita alternada

Em análise numérica, o Método da Direção implícita alternada (DIA) é um Método de diferenças finitas para resolver equações diferenciais parciais parabólicas, hiperbólicas e elípticas.^[1] É mais notavelmente usado para resolver o problema da condução de calor ou para resolver a equação de difusão em duas ou mais dimensões.

O método tradicional para resolver a equação do calor numericamente é o Método de Crank–Nicolson. Esse método resulta em um conjunto de equações muito complicadas em múltiplas dimensões, difíceis de resolver. A vantagem do método DIA é que as equações que devem ser resolvidas em cada passo tem uma estrutura mais simples e podem ser resolvidas eficientemente com um algoritmo de matriz tridiagonal.

O método

Considere a equação da difusão linear em duas dimensões,

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)=(u_{xx}+u_{yy})=\Delta u}$

O método de Crank-Nicolson implícito produz a seguinte equação de diferenças finitas:

${\displaystyle {u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n} \over \Delta t}={1 \over 2}\left(\delta _{x}^{2}+\delta _{y}^{2}\right)\left(u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^{n}\right)}$

onde ${\displaystyle \delta _{p}}$ é o operador de diferenças central para a coordenada p. Depois de realizada uma análise de estabilidade, pode ser mostrado que esse método será estável para qualquer ${\displaystyle \Delta t}$.

Uma desvantagem do método de Crank-Nicolson é que a matriz na equação acima é uma matriz de banda com uma largura que é geralmente bem grande. Isso torna a solução direta do sistema de equações lineares bastante trabalhosa (embora soluções aproximadas eficientes existam).

A ideia do método ADI é dividir a equação de diferenças finitas em duas, uma com a derivada parcial em 'x' e a outra com a derivada parcial em y, ambas tomada implicitamente.

${\displaystyle {u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^{n} \over \Delta t/2}=\left(\delta _{x}^{2}u_{ij}^{n+1/2}+\delta _{y}^{2}u_{ij}^{n}\right)}$

${\displaystyle {u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2} \over \Delta t/2}=\left(\delta _{x}^{2}u_{ij}^{n+1/2}+\delta _{y}^{2}u_{ij}^{n+1}\right).}$

O sistema de equações envolvido é simétrico e tridiagonal e é tipicamente resolvido usando um algoritmo de matriz tridiagonal.

Pode ser mostrado que esse método é incondicionalmente estável e de segunda ordem no tempo e espaço.^[2] Existem métodos ADI mais refinados assim como o método de Douglas, ^[3] ou o método do fator f ^[4] o qual pode ser usado para três ou mais dimensões.

Referências

1. Peaceman, D. W.; Rachford Jr., H. H. (1955), «The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations», Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 3 (1): 28–41, MR 0071874, doi:10.1137/0103003 .
2. Douglas, Jr., J. (1955), «On the numerical integration of u_xx+ u_yy= u_t by implicit methods», Journal of the Society of Industrial and Applied Mathematics, 3: 42–65, MR 0071875 .
3. Douglas Jr., Jim (1962), «Alternating direction methods for three space variables», Numerische Mathematik, ISSN 0029-599X, 4 (1): 41–63, doi:10.1007/BF01386295 .
4. Chang, M. J.; Chow, L. C.; Chang, W. S. (1991), «Improved alternating-direction implicit method for solving transient three-dimensional heat diffusion problems», Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals, ISSN 1040-7790, 19 (1): 69–84, doi:10.1080/10407799108944957 .