Um monomorfismo (ou mono), no contexto de teoria das categorias, é uma generalização do conceito de função injetiva. Uma seta h : a → b {\displaystyle h:a\rightarrow b} numa categoria C {\displaystyle C} é um monomorfismo se e somente se h ∘ g = h ∘ f {\displaystyle h\circ g=h\circ f} implica g = f {\displaystyle g=f} sempre que g , f : c → a {\displaystyle g,f:c\to a} são setas e c {\displaystyle c} é objeto de C {\displaystyle C} . Ou seja, uma seta é mono se ela pode ser cancelada à esquerda de uma composição.
A noção dual a monomorfismo é epimorfismo.[1]
Se g ∘ f = 1c para algumas setas f : c → d e g : d → c, f é chamada inversa à direita ou seção e g é chamada inversa à esquerda ou retração. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.[1]
Eis alguns exemplos:
Dados monomorfismos u : s → a , v : t → a {\displaystyle u:s\to a,\,v:t\to a} de mesmo contradomínio, escreve-se u ≤ v {\displaystyle u\leq v} quando u = v ∘ u ′ {\displaystyle u=v\circ u'} para alguma u ′ : s → t {\displaystyle u':s\to t} ; escreve-se u ≡ v {\displaystyle u\equiv v} quando u ≤ v {\displaystyle u\leq v} e v ≤ u {\displaystyle v\leq u} . Então, ≡ {\displaystyle \equiv } é relação de equivalência no conjunto dos monomorfismos de contradomínio a {\displaystyle a} , e cada classe de equivalência associada é chamada um subobjeto de a {\displaystyle a} .
Na categoria dos conjuntos e na dos grupos, por exemplo, subobojetos correspondem biunivocamente a subconjuntos e subgrupos, respectivamente.
Dada uma família { u i : s i → a } i ∈ I {\displaystyle \{u_{i}:s_{i}\to a\}_{i\in I}} de subobjetos de a {\displaystyle a} (aqui, usa-se a mesma notação para um subobjeto e um monomorfismo representante), o ínfimo de A {\displaystyle A} (se existe) é exatamente o produto fibrado (ou pullback) dos { u i : s i → a } i ∈ I {\displaystyle \{u_{i}:s_{i}\to a\}_{i\in I}} .[6]