Matriz aleatória

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore
v d e

Na teoria da probabilidade e na física matemática, uma matriz aleatória é uma variável aleatória com valor de matriz^[1] - isto é, uma matriz na qual alguns ou todos os elementos são variáveis aleatórias. Muitas propriedades importantes de sistemas físicos podem ser representadas matematicamente como problemas de matriz.^[2] Por exemplo, a condutividade térmica de uma rede pode ser calculada a partir da matriz dinâmica das interações partícula-partícula dentro da rede.^[3] A teoria da matriz aleatória foi iniciada por volta dos anos 1950.^[4]

Aplicações

Física

Na física nuclear, matrizes aleatórias foram introduzidas por Eugene Wigner para modelar os núcleos de átomos pesados.^[5]

Estatística matemática e análise numérica

Em estatísticas multivariadas, matrizes aleatórias foram introduzidas por John Wishart^[6] para análise estatística de grandes amostras.^[7]

Teoria dos Números

Na teoria dos números, a distribuição de zeros da função zeta de Riemann (e outras funções L) é modelada pela distribuição de autovalores de certas matrizes aleatórias.^[8]

Neurociência teórica

No campo da neurociência teórica, matrizes aleatórias são cada vez mais usadas para modelar a rede de conexões sinápticas entre neurônios no cérebro.

Controle ótimo

Na teoria de controle ótimo, a evolução de n variáveis de estado ao longo do tempo depende, a qualquer momento, de seus próprios valores e dos valores de k variáveis de controle. Com a evolução linear, matrizes de coeficientes aparecem na equação de estado (equação de evolução).^[9]

Generalizações

As matrizes Wigner são matrizes Hermitianas aleatórias ${\displaystyle \textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$ de modo que as inscrições

${\displaystyle \left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}}$

acima da diagonal principal estão variáveis aleatórias independentes com média zero e segundos momentos idênticos.

Conjuntos de matrizes invariantes são matrizes Hermitianas aleatórias com densidade no espaço de matrizes Hermitianas simétricas/Hermitianas/quaterniônicas reais, que tem a forma ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-n\mathrm {tr} V(H)}~,}$ onde a função V é chamada de potencial.

Os ensembles gaussianos são os únicos casos especiais comuns dessas duas classes de matrizes aleatórias.^[10][11]

Referências

1. Huang, Jiaoyang (20 de março de 2018). «Mesoscopic perturbations of large random matrices». Random Matrices: Theory and Applications (02). 1850004 páginas. ISSN 2010-3263. doi:10.1142/s2010326318500041. Consultado em 28 de maio de 2021 
2. Tao, Terence (21 de março de 2012). Topics in Random Matrix Theory. Col: Graduate Studies in Mathematics. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society 
3. Ferrari, Patrik L. (13 de outubro de 2010). «From interacting particle systems to random matrices». Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment (10): P10016. ISSN 1742-5468. doi:10.1088/1742-5468/2010/10/P10016. Consultado em 28 de maio de 2021 
4. «Random Matrix Theory and Networks». Physics World (em inglês). Consultado em 31 de maio de 2021 
5. Hall, Brian C. (1 de abril de 2019). «Eigenvalues of Random Matrices in the General Linear Group in the Large-$N$ Limit». Notices of the American Mathematical Society (04). 1 páginas. ISSN 0002-9920. doi:10.1090/noti1847. Consultado em 28 de maio de 2021 
6. Bishop, Adrian N.; Del Moral, Pierre; Niclas, Angèle (2018). An Introduction to Wishart Matrix Moments. [S.l.]: now Publishers Inc 
7. Wishart, John (julho de 1928). «The Generalised Product Moment Distribution in Samples from a Normal Multivariate Population». Biometrika (1/2): consulte a estimativa de matrizes de covariância. 32 páginas. ISSN 0006-3444. doi:10.2307/2331939. Consultado em 28 de maio de 2021 
8. KEATING, J. (1993). «The Riemann Zeta-Function and Quantum Chaology». Elsevier: 145–185. ISBN 978-0-444-81588-0. Consultado em 28 de maio de 2021 
9. Walker, J. (1 de agosto de 1976). «Book Reviews : THEORY OF BIFURCATIONS OF DYNAMIC SYSTEMS ON A PLANE A. A. Andronov, E. A. Leontovich, I. I. Gordon, and A. G. Maier J. Wiley & Sons, New York , New York (1973)». The Shock and Vibration Digest (8): 48–48. ISSN 0583-1024. doi:10.1177/058310247600800807. Consultado em 28 de maio de 2021 
10. Kanzieper, Eugene (17 de setembro de 2015). «Replica approach in random matrix theory». Oxford University Press. The Oxford Handbook of Random Matrix Theory: 154–175. ISBN 978-0-19-874419-1. Consultado em 29 de maio de 2021 
11. Zinn-Justin, Jean (19 de junho de 2019). «Renormalization group approach to matrix models». Oxford University Press: 493–500. ISBN 978-0-19-878775-4. Consultado em 29 de maio de 2021 

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