Método dos momentos generalizado

Método dos momentos generalizado (GMM, do inglês: Generalized method of moments) é uma técnica econométrica genérica de estimação de parâmetros de uma equação de regressão desenvolvida como uma extensão ao método de momentos. Sua aplicação é recomendada quando há suspeita de problemas de endogeneidade entre as variáveis explicativas do modelo e o número de momentos é maior do que o número de parâmetros a estimar.

O GMM é considerado uma das técnicas mais avançadas de econometria e sua aplicação é cada vez mais frequente. O método requer que um certo número de momentos sejam especificados.

Motivação

Considere um modelo de estimação de oferta e demanda de um bem qualquer^[1]. Seja ${\displaystyle p_{i}}$ o preço do bem, com o índice "i" representando cada observação deste preço.

1) demanda: ${\displaystyle q_{i}^{d}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot p_{i}+u_{i}}$, onde ${\displaystyle q_{i}^{d}}$ é a quantidade demandada.

2) oferta: ${\displaystyle q_{i}^{s}=\beta _{0}+\beta _{1}\cdot p_{i}+v_{i}}$, onde ${\displaystyle q_{i}^{s}}$ é a quantidade ofertada.

3) equilíbrio de mercado: ${\displaystyle q_{i}^{d}=q_{i}^{s}=q_{i}}$

Substituindo a equação 3 nas equações 1 e 2, podemos transformar as três equações em duas.

1) ${\displaystyle q_{i}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot p_{i}+u_{i}}$

2) ${\displaystyle q_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\cdot p_{i}+v_{i}}$

Dizemos que um regressor (variável explicativa) é endógeno se não for predeterminado, ou seja, se não for ortogonal ao termo de erro. No exemplo acima, o regressor ${\displaystyle p_{i}}$ é necessariamente endógeno nas duas equações, pois é uma função dos dois termos de erro:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\beta _{0}-\alpha _{0}}{\alpha _{1}-\beta _{1}}}+{\frac {v_{i}-u_{i}}{\alpha _{1}-\beta _{1}}}\rightarrow Cov\left(p_{i},u_{i}\right)\neq 0,Cov\left(p_{i},v_{i}\right)\neq 0}$

Como a correlação entre o regressor e o termo de erro (em cada uma das equações) é diferente de zero, o métodos de mínimos quadrados ordinários (OLS) não pode ser utilizado, pois gera estimadores inconsistentes para ${\displaystyle \alpha _{1}}$ e ${\displaystyle \beta _{1}}$. Portanto, o método métodos de mínimos quadrados ordinários é um caso muito particular de GMM, que ocorre quando não há correlação entre a variável explicativa e o termo de erro.^[1].

Igualmente, o método de variáveis instrumentais (que considera um instrumento para cada variável endógena) e o método dos mínimos quadrados em dois estágios também são considerados casos especiais de GMM^[1].

Formulação geral e hipóteses

Seja uma equação linear, a ser estimada, na forma matricial^[1]:

${\displaystyle y_{i}=\mathbf {x_{i}} {\boldsymbol {\delta }}+\varepsilon _{i},i=1,2,...,n}$

onde ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$ indica um uma um vetor L dimensional (indicando L variáveis explicativas), e ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ indica um termo de erro não observável.

• Seja ${\displaystyle \mathbf {z_{i}} }$ um vetor de instrumentos e ${\displaystyle \mathbf {w_{i}} }$ os elementos únicos e não constantes de ${\displaystyle \left(y_{i},\mathbf {x_{i}} ,\mathbf {z_{i}} \right)}$.
• Seja ${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \equiv \mathbf {z_{i}} \cdot \varepsilon _{i}}$. Assumimos que ${\displaystyle E\left(\mathbf {g_{i}} \right)=0}$, ou seja, os instrumentos são ortogonais ao termo de erro.
• Condição de posto:A matriz KXL ${\displaystyle E\left(\mathbf {z_{i}} \mathbf {x_{i}} ^{T}\right)={\boldsymbol {\Sigma _{zx}}}}$ tem posto pleno, ou seja, se u posto é L = número de colunas.
• Condição necessária para a identificação: o número de variáveis pre-determinadas (K) deve ser maior ou igual a L (=número de regressores)

Propriedades

A ideia do método dos momentos generalizado é usar as condições dos momentos que podem ser encontrados em um problema de estimação de parâmetros com o menor esforço. Assume-se que os dados são processos estocásticos ${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\ldots ).}$ Na linguagem matemática, inicia-se com uma função (vector de valores) ${\displaystyle f}$ que depende de ambos, os parâmetros e uma simples observação que tem média zero para o valor verdadeiro do parâmetro, ${\displaystyle \theta =\theta _{0},}$ i.e.

${\displaystyle E[f(Y_{i},\theta _{0})]=0.\,}$

Para converter essa função em uma estimação de parâmetros, deve-se minimizar a função quadrática associada

${\displaystyle \ {\hat {\theta }}={\text{arg}}\min _{\theta }\left(\sum _{i=1}^{N}f(Y_{i},\theta )\right)^{T}A\left(\sum _{i=1}^{N}f(Y_{i},\theta )\right)}$

Onde o sobrescrito ${\displaystyle T}$ denota a transposta, e ${\displaystyle A}$ é uma matriz de ponderações positivo definida. ${\displaystyle A}$ pode ser conhecida a priori ou estimada a partir dos dados da amostra, incorporando obervações e instrumentos.

O método GMM escolhe os coeficientes de forma que os resíduos sejam ortogonais aos instrumentos utilizados.

História

Atribui-se frequentemente o método GMM a Lars Peter Hansen em artigo na revista Econometrica de 1982^[2]. Mas o método tem seus antecedentes nos trabalhos de Karl Pearson sobre o método dos momentos em 1895, e mais na frente nos trabalhos de Fisher (1925) e Neyman e Egon Pearson (1928) sobre o método MCE que supera a dificuldade do método dos momentos quando se tem mais condições de momentos do que parâmetros a serem estimados (sistema sobre determinado).

Referências

1. HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton University Press. 2000. ISBN 978-0-691-01018-2. Capítulo 3.
2. HANSEN, Lars Peter. Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators, Econometrica, v. 50, n. 4, p.1029-1054, Jul., 1982. Disponível em: <http://ideas.repec.org/a/ecm/emetrp/v50y1982i4p1029-54.html>. Acesso em: 18 de julho de 2011

• GREENE, William H. Econometric Analysis, (6th ed.) New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2008.
• FISHER, R.A. "The Theory of statistical estimation", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, v. 22, p.700-725, 1925.

Ver também

• Regressão