Lema do Incentro-Exincentro

Em geometria, o lema do incentro-exincentro é o teorema de que o segmento de reta entre o incentro e qualquer exincentro de um triângulo, ou entre dois exincentros, é o diâmetro de uma circunferência (uma circunferência incentro-exincentro ou exincentro-exincentro) que passa por dois vértices do triângulo e que tem centro sobre a circunferência circunscrita.^[1][2][3] Este teorema é mais conhecido na Rússia, onde é chamado de teorema do trillium (теорема трилистника) ou lema do tridente (лемма о трезубце), baseado na semelhança da figura geométrica com uma flor de trillium ou com um tridente.^[4][5]

Essas relações derivam do fato do incentro e os exincentros de qualquer triângulo formarem um sistema ortocêntrico cujo círculo de nove pontos é o círculo circunscrito do triângulo original.^[6][2] O teorema é útil para resolver problemas competitivos de geometria euclidiana,^[1] e pode ser usado para reconstruir um triângulo a partir de um vértice, o incentro e o circuncentro.

Enunciado

Lema incentro-exincentro com incentro I e exincentro E

Seja ABC um triângulo qualquer. Seja I o seu incentro e seja D o ponto onde a reta BI (a bissetriz interna de ∠ABC) cruza a circunferência circunscrita a ABC. Então, o teorema afirma que D é equidistante de A, C e de I (isto é, dista o mesmo até esses três pontos). Equivalentemente:

• A circunferência que passa por A, C e I tem centro em D. Em particular, isto implica que o centro desta circunferência fica sobre o círculo circunscrito.^[7][8]
• Os três triângulos AID, CID e ACD são isósceles, tendo D como vértice comum aos lados de mesmo comprimento.

Um quarto ponto E, o exincentro de ABC com relação a B, também está à mesma distância de D, diametralmente oposto a I.^[5][9]

Demonstração

Pelo teorema do ângulo inscrito, ${\displaystyle \angle IBA=\angle DCA,\ \angle IBC=\angle DAC.}$

Já que ${\displaystyle BI}$ é uma bissetriz interna, ${\displaystyle \angle DCA=\angle DAC\implies AD=CD.}$

Também concluímos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle DIA&=180^{\circ }-\angle AIB\\&=180^{\circ }-(180^{\circ }-\angle IAB-\angle IBA)\\&=\angle IAB+\angle IBA\\&=\angle IAC+\angle DAC\\&=\angle IAD\\\implies AD&=DI.\end{aligned}}}$

Veja também

• Teorema da Bissetriz Interna

Referências

1. Chen, Evan (2016). «§1.4 The Incenter/Excenter Lemma». Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. [S.l.]: Mathematical Association of America. pp. 9–10. ISBN 9780883858394 
2. Le, Nguyen; Wildberger, Norman (2016). «Incenter Symmetry, Euler Lines, and Schiffler Points». KoG. 20 (20): 22–30 
3. Weisstein, Eric W. (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. [S.l.]: CRC Press. "Excenter–Excenter Circle" p. 591, "Incenter–Excenter Circle" p. 894. ISBN 0849396409  Republished at MathWorld: "Excenter–Excenter Circle", "Incenter–Excenter Circle".
4. Trillium theorem: И. А. Кушнир. «Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера» (PDF) (em russo). Ф7 (Теорема трилистника), page 34; proof on page 36 

   Trident lemma: Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. «Задачи для школьного математического кружка» (PDF) (em russo). Problem 1.2. 4 páginas 

5. «6. Лемма о трезубце» (PDF) (em russo). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 29 de outubro de 2014 
6. Johnson, Roger A. (1929). «X. Inscribed and Escribed Circles». Modern Geometry. [S.l.]: Houghton Mifflin. pp. 182–194 
7. Morris, Richard (1928), «Circles through notable points of the triangle», The Mathematics Teacher, 21 (2): 63–71, JSTOR 27951001, doi:10.5951/MT.21.2.0069 . See in particular the discussion on p. 65 of circles BIC, CIA, AIB, and their centers.
8. Bogomolny, Alexander. «A Property of Circle Through the Incenter». Cut-the-Knot. Consultado em 26 de janeiro de 2016 
9. Bogomolny, Alexander. «Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters». Cut-the-Knot. Consultado em 26 de janeiro de 2016