Interceptação em y

Em geometria analítica, a interceptação em y ou interceptação vertical é a ordenada y em um ponto ${\displaystyle (0,\ y)}$ onde o gráfico de uma função ou qualquer outro tipo de relação intercepta o eixo-${\displaystyle y}$ (eixo das ordenadas)^[1], assumindo por convenção que este seja o eixo vertical do sistema de coordenadas ortogonais considerado. Ao assumir que o eixo horizontal é o eixo-${\displaystyle x}$, esse ponto satisfaz ${\displaystyle x=0}$.^[2][3]

Gráfico de y=f(x), em que o eixo horizontal é o eixo-x e o eixo vertical é o eixo-y. A interceptação em y da função f(x) está indicada pelo ponto vermelho em (x=0, y=1).

Equações

Se uma curva é dada por ${\displaystyle y=f(x)}$, a ordenada de sua interceptação em y pode ser encontrada ao calcular ${\displaystyle f(0)}$. Se a função for indefinida para ${\displaystyle x=0}$, ela não possui uma interceptação em y.

Em uma função afim na forma de equação reduzida ${\displaystyle y=mx+b}$, a interceptação em y é dada pelo termo independente ${\displaystyle b}$, chamado coeficiente linear. Isso porque ${\displaystyle f(0)=m(0)+b=b}$, logo, seu ponto de interceptação em y é ${\displaystyle (0,\ b)}$.

Gráfico de y = ax + b. A interceptação em y de uma função afim é no ponto (0, b).

Em uma função afim na forma de equação fundamental ${\displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0})}$, a interceptação em y é dada por ${\displaystyle y_{0}-mx_{0}}$^[4], que coincide com o coeficiente linear ${\displaystyle b}$ da equação reduzida da função. Isso pode ser demonstrado manipulando a equação:

${\displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0})}$

${\displaystyle y-y_{0}=mx-mx_{0}}$

${\displaystyle y=mx-mx_{0}+y_{0}}$

Comparando ambas as equações:

${\displaystyle y=mx-mx_{0}+y_{0}}$

${\displaystyle y=mx+b}$

${\displaystyle mx+b=mx-mx_{0}+y_{0}}$

${\displaystyle b=y_{0}-mx_{0}}$

Múltiplas interceptações em y

Algumas relações bidimensionais, tais como círculos, elipses e hipérboles podem ter mais de uma interceptação em y. Isso não se aplica a funções pois essas associam ${\displaystyle x}$ a um único valor ${\displaystyle y}$ correspondente por sua definição, portanto, funções têm apenas uma interceptação em y.

Interceptações em x

Ver artigo principal: Raiz (matemática)

De forma análoga, uma interceptação em x, também chamada de raiz ou zero da função, é a abscissa x em um ponto ${\displaystyle (x,\ 0)}$ onde o gráfico de uma função ou qualquer outro tipo de relação intercepta o eixo-${\displaystyle x}$ (eixo das abscissas), assumindo que este é o eixo horizontal do sistema de coordenadas ortogonais considerado.^[5] Esse ponto, caso exista, satisfaz ${\displaystyle y=0}$. Nesse caso, funções do tipo ${\displaystyle y=f(x)}$ podem possuir mais de uma interceptação em x, pois a definição de funções permite a existência múltiplas raízes.

Interceptações em x, caso existam, normalmente são mais complicadas para encontrar do que a interceptação em y, dado que a segunda pode ser encontrada simplesmente resolvendo para ${\displaystyle x=0}$, enquanto as raízes, dependendo da complexidade da função, necessitam de recursos algébricos para serem encontradas.

Interceptações de funções inversas com eixos coordenados

Ver artigo principal: Função inversa

Seja ${\displaystyle f(x)}$ uma função invertível, a interceptação em y de ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ será igual à raiz de ${\displaystyle f(x)}$. Da mesma forma, a raiz de ${\displaystyle f(x)}$ será igual à interceptação em y de ${\displaystyle f^{-1}(x)}$.

Observe no gráfico de y = f(x) que sua raiz é igual à interceptação em y de sua inversa. O mesmo ocorre com sua inversa.

Em dimensões maiores

A noção de interceptação vertical pode ser estendida para espaços tridimensionais e dimensões maiores, bem como para outros eixos coordenados, possivelmente com outros nomes. Por exemplo, podemos dizer interceptação em ${\displaystyle v}$ para a velocidade escalar inicial de um automóvel (em cinemática, ${\displaystyle v}$ normalmente é a variável atribuída a velocidade escalar, enquanto ${\displaystyle {\vec {v}}}$ é atribuída a velocidade vetorial) ou interceptação em ${\displaystyle I}$ para característica corrente-tensão de um diodo semicondutor, por exemplo. (Em engenharia elétrica, ${\displaystyle I}$ é o símbolo usado para representar a corrente elétrica).

Referências

1. «Definition of Y-INTERCEPT». www.merriam-webster.com (em inglês). Consultado em 11 de setembro de 2020 
2. Weisstein, Eric W. «y-Intercept». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 11 de setembro de 2020 
3. Stapel, Elizabeth. «x- and y-Intercepts». Purplemath. Consultado em 11 de setembro de 2020 
4. Professor Fabiano (2005). «Cálculo Diferencial e Integral I - Retas e funções lineares» (PDF). Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - Departamento de Matemática e Estatística. Consultado em 11 de setembro de 2020 
5. Weisstein, Eric W. «Root». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 11 de setembro de 2020 

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