Hipérbole

 Nota: Se procura a figura de linguagem, veja Hipérbole (figura de estilo).

Hipérbole como seção cônica.

Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte.^[1]

Hipérbole pode indicar toda a seção do corte, ou também apenas uma das duas curvas que a formam. As duas curvas são iguais, e são denominadas hipérboles opostas.^[1]

Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares^[2] para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Para uma prova geométrica simples de que as duas caracterizações acima são equivalentes, veja esferas de Dandelin.

Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

tal que ${\displaystyle B^{2}>4AC,}$ onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na hipérbole, existe.

Definições

Os vértices da hipérbole são os dois pontos, um de cada hipérbole oposta, mais próximos entre si. A reta que liga estes dois pontos se chama o eixo transverso da hipérbole. O centro da hipérbole é o ponto médio do segmento de reta que une os dois vértices.^[1]

A hipérbole também pode ser definida como o locus de pontos para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior ou igual a 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversal e seu ponto médio é chamado de centro.

Uma hipérbole compreende duas curvas desconectadas, chamadas de "braços", que separam os focos. Conforme a distância dos pontos da hipérbole aos focos aumenta, a hipérbole começa a se aproximar de duas linhas, conhecidas como assíntotas.

Uma hipérbole possui a propriedade de que um raio, originando-se em um de seus focos, é refletido de tal forma que ele aparenta ter sido originado no outro foco.

Uma hipérbole ambigenal é uma das hipérboles triplas de segunda ordem, possuindo uma de suas quatro curvas infinitas aproximando-se com um ângulo com relação às assíntotas, e com a curva oposta se aproximando sem este ângulo.^[3]

Hipérboles retangulares de unidade conjugadas

Um caso especial da hipérbole é a equilateral ou hipérbole retangular, na qual as assíntotas se intersectam em ângulos retos. A hipérbole retangular, com suas assíntotas coincidentes com os eixos coordenados, é dada pela equação xy=c, onde c é uma constante.

Assim como as funções seno e co-seno geram uma equação paramétrica para a elipse, as funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico também geram uma equação paramétrica para a hipérbole.

Se na equação da hipérbole invertermos as variáveis x e y, obteremos a hipérbole conjugada. Uma hipérbole e sua hipérbole conjugada possuem as mesmas assíntotas.

Equações

Cartesiana

Hipérbole de abertura leste-oeste:

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

Hipérbole de abertura norte-sul:

${\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$

Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semieixo real (metade da distância entre os dois ramos), e b é o semieixo imaginário. Note que b pode ser maior que a.

A excentricidade é dada por

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ ou ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$

Para hipérboles retângulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotas temos:

${\displaystyle (x-h)(y-k)=c}$

Polar

Hipérbole com abertura leste-oeste:

${\displaystyle r^{2}=a\sec 2t}$

Hipérbole com abertura norte-sul:

${\displaystyle r^{2}=-a\sec 2t}$

Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste:

${\displaystyle r^{2}=a\csc 2t}$

Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.

Paramétrica

Hipérbole com abertura leste-oeste:

${\displaystyle x=a\sec \theta +h}$

${\displaystyle y=b\tan \theta +k}$

Hipérbole com abertura norte-sul:

${\displaystyle x=b\tan \theta +h}$

${\displaystyle y=a\sec \theta +k}$

Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor.

Outra maneira é através das funções hiperbólica senh e cosh.

Hipérbole com abertura leste-oeste:

${\displaystyle x=a\cosh \theta +h}$

${\displaystyle y=b\sinh \theta +k}$

Hipérbole com abertura norte-sul:

${\displaystyle x=b\cosh \theta +h}$

${\displaystyle y=a\sinh \theta +k}$

A diferença dessas duas maneiras é que a primeira é muito mais rápida (uma pequena variação do ângulo, produz uma grande variação nas coordenadas). Também, a primeira não está definida para ${\displaystyle \pi /2}$ e ${\displaystyle 3\pi /2}$. O que conecta as duas maneiras de parametrizar são as equações abaixo:

${\displaystyle \cosh =\sec gd(\theta )}$

${\displaystyle \sinh =\tan gd(\theta )}$

Em que gd é a função gudermanniana.

Aplicações

Um exemplo de aplicação da hipérbole é no sistema de navegação LORAN. Em um determinado caso, por exemplo, há pares de estações emitindo sinais, e a diferença de tempo na recepção de ambos pode ser utilizada para determinar a posição de um navio ^[4]

Trissecção de um ângulo

Trissectando um ângulo (AOB) usando uma hipérbole de excentricidade 2 (curva amarela).

Um problema clássico na geometria de construções com régua e compasso é o da trissecção de um ângulo. Procura-se achar um método para que, dado um ângulo ${\displaystyle \theta }$ qualquer e usando apenas um compasso e uma régua sem graduação, encontre-se um ângulo cuja medida seja ${\displaystyle \theta /3}$.

Apolônio de Perga, o autor da obra clássica As Cônicas, mostrou que uma seção cônica poderia ser usada para trissectar um ângulo arbitrário.^[5] O conjunto de pontos determinados pela cônica utilizada, no entanto, não pode ser determinado via construções com régua e compasso. A impossibilidade da resolução do problema da trissecção de um ângulo usando compasso e régua foi provada por Pierre Wantzel em 1837. ^[6]

Papo de Alexandria, por volta de 300 DC, usou a descoberta de Apolônio para trissectar um ângulo usando uma hipérbole, usando o método descrito a seguir.^[7] Dado um ângulo qualquer, desenha-se uma circunferência centrada no seu vértice O. Essa circunferência irá se intersectar com os dois lados do ângulo em pontos que chamaremos de A e B. Em seguida, desenha-se um segmento de reta entre A e B e uma reta l perpendicular ao segmento AB, passando por O. Constrói-se então uma hipérbole de excentricidade 2, tendo a reta r como diretriz e B como foco. Assim, dentre os pontos de interseção entre a hipérbole construída e a circunferência de centro O, escolhemos o mais distante de O e o chamamos de P. O ângulo POB terá medida de um terço do ângulo BOC. ^[8]

Referências

1. Charles Hutton, A Philosophical and Mathematical Dictionary Containing... Memoirs of the Lives and Writings of the Most Eminent Authors, Volume 1 (1815), Hyperbola, p.667 [google books]
2. Carvalho, Benjamin - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988.
3. 1828 Webster's Dictionary, domínio público.
4. FutureLearn - Hyperbolas for navigation and military use (em inglês)
5. «Mathematics - Apollonius». Encyclopedia Britannica (em inglês). Consultado em 20 de agosto de 2020 
6. Smorynski, Craig (10 de dezembro de 2007). History of Mathematics: A Supplement (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media 
7. «Pappus of Alexandria». 1911 Encyclopædia Britannica. Volume 20 
8. MOLBERT, NICHOLAS (Julho de 2012). «SECTIONING ANGLES USING HYPERBOLIC CURVES» (PDF) 

Bibliografia

• Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
• Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
• Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
• Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
• Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
• Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também

• Ângulo hiperbólico
• Cônicas
• Esferas de Dandelin
• Função hiperbólica
• Hiperbolóide
• Lista de construções do desenho geométrico
• Lugar geométrico
• Parabolóide hiperbólico
• Setor hiperbólico
• Trajetória hiperbólica

Ligações externas

• Venturi, Jacir J. (2003). Cônicas e Quádricas (PDF) 5 ed. Curitiba: Unificado. 246 páginas. ISBN 8585132485 
• Vídeo de um plano seccionando um cone e definindo a curva cônica hipérbole
• «Construir objetos geometria analítica» (em inglês) .
• Texto sobre cônicas feito pelo Instituto de Matematica e Estatistica da USP para o curso de Engenharia na ESCOLA POLITECNICA DA USP (POLI)
• Alfred North Whitehead: An Introduction to Mathematics. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103197842, pp. 121 [1]
• George Wentworth: Junior High School Mathematics: Book III. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103152360, pp. 265 [2]
• Robert Clarke James, Glenn James: Mathematics Dictionary. Springer 1992, ISBN 9780412990410, p. 255 [3]