Integral imprópria

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Em cálculo, uma integral definida ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ é chamada de imprópria em dois casos ^[1]:

• quando o intervalo [a,b] é infinito, ou seja, ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$ ou ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$
• quando a função f tem uma descontinuidade infinita em [a,b].

Ou seja, uma integral imprópria é o limite de uma integral definida quando o ponto final do intervalo ("a" ou "b", no caso acima) se aproxima 1) de um número real especificado, 2) de menos infinito ou 3) de mais infinito. Em alguns casos, os dois lados do intervalo se aproximam de limites.

Tipo 1: intervalos infinitos

Ver artigo principal: Limite de uma função

uma integral imprópria do primeiro tipo.

Uma integral imprópria do tipo 1 da função "f" é o limite de integrais sobre intervalos finitos. "f" não precisa necessariamente ser uma função positiva, mas se for, podemos interpretar qualquer uma das definições abaixo como uma área:

• Se uma integral ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ existe para cada número ${\displaystyle b\geq a}$, então

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$${\displaystyle =\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ é uma integral imprópria^[1].

• Igualmente, se uma integral ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ existe para cada número ${\displaystyle a\leq b}$, então

${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$${\displaystyle =\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ é uma integral imprópria^[1].

Tipo 2: funções descontínuas

Uma integral imprópria de Riemann do segundo tipo. Repare a assíntota vertical.

A integral imprópria ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }$
é ao mesmo tempo do tipo 1 e do tipo 2.

Ver artigo principal: função contínua

• Se a função "f" é contínua em "a" e descontínua em "b" (ou seja, [a,b) ), então

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$

• Ao contrário, se a função "f" é descontínua em "a" e contínua em "b" (ou seja, (a,b] ), então

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$

Convergência e divergência

As integrais impróprias são chamadas de convergentes se os respectivos limites existem (como números), e divergentes se os limites não existem.

Se as integrais impróprias do tipo 1 ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$ e ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$ são convergentes, então podemos definir

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx+\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx}$

Exemplos

• A integral imprópria

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left[{\frac {1}{x}}\right]\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}\left[{\frac {1}{x}}\right]\,dx=\lim _{b\to \infty }ln\left|x\right\vert _{1}^{b}}$${\displaystyle =\lim _{b\to \infty }\left[ln(b)-ln(1)\right]=\lim _{b\to \infty }\left[ln(b)\right]=\infty }$.

Portanto, o limite não existe como número, e assim esta integral imprópria do tipo 1 é divergente ^[1].

Referências

1. STEWART, James. Cálculo Vol. I. 2ª reimpressão da 4ª edição de 2001. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. ISBN 85-221-0235-X. Seção 7.8, páginas 523 a 531