Função completamente multiplicativa

Na teoria dos números, as funções de inteiros positivos que respeitam os produtos são importantes e são chamadas de funções completamente multiplicativas ou funções totalmente multiplicativas. Uma condição mais fraca também é importante, respeitando apenas produtos de números de coprimos, e tais funções são chamadas de funções multiplicativas. Fora da teoria dos números, o termo "função multiplicativa" é frequentemente considerado sinônimo de "função completamente multiplicativa", conforme definido neste artigo.

Definição

Uma função completamente multiplicativa (ou função totalmente multiplicativa) é uma função aritmética (ou seja, uma função cujo domínio são os números naturais), tal que f(1) = 1 e f(ab) = f(a)f(b) vale para todos os inteiros positivos a e b.^[1]

Sem a exigência de que f(1) = 1, ainda se poderia ter f(1) = 0, mas então f(a) = 0 para todos os inteiros positivos a, portanto, esta não é uma restrição muito forte.

A definição acima pode ser reformulada usando a linguagem da álgebra: Uma função completamente multiplicativa é um homomorfismo do monóide ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{+},\cdot )}$ (ou seja, os inteiros positivos sob multiplicação) para algum outro monóide.

Exemplos

O exemplo mais fácil de uma função completamente multiplicativa é um monômio com coeficiente líder 1: Para qualquer inteiro positivo particular n, defina f(a) = aⁿ. Então f(bc) = (bc)ⁿ = bⁿcⁿ = f(b)f(c) e f(1) = 1ⁿ = 1.

A função de Liouville é um exemplo não trivial de uma função completamente multiplicativa, assim como os caracteres de Dirichlet, o símbolo de Jacobi e o símbolo de Legendre.

Propriedades

Uma função completamente multiplicativa é completamente determinada por seus valores nos números primos, uma consequência do teorema fundamental da aritmética. Assim, se n é um produto de potências de primos distintos, digamos n = p^a q^b ..., então f(n) = f(p)^a f(q)^b ...

Enquanto a convolução de Dirichlet de duas funções multiplicativas é multiplicativa, a convolução de Dirichlet de duas funções completamente multiplicativas não precisa ser completamente multiplicativa.

Há uma variedade de afirmações sobre uma função que são equivalentes a ela ser completamente multiplicativa. Por exemplo, se uma função f é multiplicativa, então ela é completamente multiplicativa se e somente se seu inverso de Dirichlet for ${\displaystyle \mu \cdot f}$ onde ${\displaystyle \mu }$ é a função de Möbius.^[2]

Funções completamente multiplicativas também satisfazem uma lei distributiva. Se f é completamente multiplicativo, então ${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h)}$ onde * representa o produto Dirichlet e ${\displaystyle \cdot }$ representa a multiplicação pontual.^[3] Uma consequência disso é que para qualquer função completamente multiplicativa f alguém tem ${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$ que pode ser deduzido do acima, colocando ambos ${\displaystyle g=h=1}$, onde ${\displaystyle 1(n)=1}$ é a função constante. Aqui, ${\displaystyle \tau }$ é a função divisor.

Prova de propriedade distributiva

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=\\&=\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))=\\&=\sum _{d|n}(f(d)f\left({\frac {n}{d}}\right))\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)){\text{ (já que }}f{\text{ é completamente multiplicativa) }}=\\&=\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left({\frac {n}{d}}\right)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{aligned}}}$

Série Dirichlet

A função L da série de Dirichlet completamente (ou totalmente) multiplicativa ${\displaystyle a(n)}$ satisfaz

${\displaystyle L(s,a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1},}$

o que significa que a soma de todos os números naturais é igual ao produto de todos os números primos.

Ver também

• Função aritmética
• Função L de Dirichlet
• Função multiplicativa
• Série de Dirichlet

Referências

1. Apostol, Tom (1976). Introdução à teoria analítica dos números (em inglês). [S.l.]: Springer. p. 30. ISBN 0-387-90163-9 
2. Apostol, página 36
3. Apostol página 49