Função diferenciável

Uma função diferenciável

Em matemática, uma função diferenciável de uma variável real é uma função cuja derivada existe em cada ponto de seu domínio. Em outras palavras, o gráfico de uma função diferenciável tem uma reta tangente que não é vertical em cada ponto interior de seu domínio. Uma função diferenciável é suave (a função é bem aproximada localmente como uma função linear em cada ponto interior) e não contém nenhuma quebra, ângulo, ou cúspide.

Se x₀ é um ponto interior no domínio de uma função f, então f é dita diferenciável em x₀ se a derivada ${\displaystyle f'(x_{0})}$ existe. Em outras palavras, o gráfico de f tem uma reta tangente não vertical no ponto (x₀, f(x₀)). f diz-se diferenciável em U se é diferenciável em cada ponto de U. f diz-se continuamente diferenciável se sua derivada também é uma função contínua sobre o domínio da função ${\textstyle f}$. De um modo geral, diz-se que f é da classe ${\displaystyle C^{k}}$ se suas primeiras ${\textstyle k}$ derivadas ${\displaystyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ existem e são contínuas no domínio da função ${\textstyle f}$.

Para uma função multivariável, como mostrado aqui, a diferenciabilidade dela é algo mais complexo do que a existência das derivadas parciais dela.

Diferenciabilidade de funções reais de uma variável

Uma função ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$, definida em um conjunto aberto ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$, é dita diferenciável em um ${\displaystyle a\in U}$ se a derivada

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

existe. Isso implica que a função é contínua em a.

Esta função f é dita diferenciável em U se for diferenciável em cada ponto de U. Neste caso, a derivada de f é, portanto, uma função de U em ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Uma função contínua não é necessariamente diferenciável, mas uma função diferenciável é necessariamente contínua (em todos os pontos onde é diferenciável) como mostrado abaixo (na seção Diferenciabilidade e continuidade). Diz-se que uma função é continuamente diferenciável se sua derivada também é uma função contínua; existem funções que são diferenciáveis, mas não continuamente diferenciáveis, (um exemplo é dado na seção Classes de diferenciabilidade).

Diferenciabilidade e continuidade

Ver também: Função contínua

A função de valor absoluto é contínua (ou seja, não tem lacunas). É diferenciável em todos os lugares, exceto no ponto x = 0, onde faz uma curva fechada ao cruzar o eixo y.

Uma cúspide no gráfico de uma função contínua. Em zero, a função é contínua, mas não diferenciável

Se f é diferenciável em um ponto x₀, então f também deve ser contínua em x₀. Em particular, qualquer função diferenciável deve ser contínua em todos os pontos de seu domínio. O inverso não é válido: uma função contínua não precisa ser diferenciável. Por exemplo, uma função com dobra, cúspide pode ser contínua, mas não diferenciável no local da anomalia.

A maioria das funções que ocorrem na prática tem derivadas em todos os pontos ou em quase todos os pontos. No entanto, um resultado de Stefan Banach afirma que o conjunto de funções que possuem uma derivada em algum ponto é um conjunto escasso no espaço de todas as funções contínuas.^[1] Informalmente, isso significa que funções diferenciáveis são muito atípicas entre funções contínuas. O primeiro exemplo conhecido de uma função contínua em todos os lugares, mas diferenciável em nenhum lugar, é a função de Weierstrass.

Classes de diferenciabilidade

Funções diferenciáveis podem ser aproximadas localmente por funções lineares

A função ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ com ${\displaystyle f(x)=x^{2}\operatorname {sen} \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ para ${\displaystyle x\neq 0}$ e ${\displaystyle f(0)=0}$ é diferenciável. No entanto, esta função não é continuamente diferenciável

Ver artigo principal: Suavidade

Uma função ${\textstyle f}$ é dita continuamente diferenciável se a derivada ${\textstyle f^{\prime }(x)}$ existe e é ela própria uma função contínua. Embora a derivada de uma função diferenciável nunca tenha uma descontinuidade de salto, é possível que a derivada tenha uma descontinuidade essencial. Por exemplo, a função $${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\operatorname {sen}(1/x)&{\text{ se }}x\neq 0\\0&{\text{ se }}x=0\end{cases}}}$$ é diferenciável em 0, pois $${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\operatorname {sen}(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$ existe. No entanto, para ${\displaystyle x\neq 0}$, as regras de diferenciação implicam $${\displaystyle f'(x)=2x\operatorname {sen}(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$ que não tem limite quando ${\displaystyle x\to 0}$. Assim, este exemplo mostra a existência de uma função que é diferenciável, mas não continuamente diferenciável (ou seja, a derivada não é uma função contínua). No entanto, o teorema de Darboux implica que a derivada de qualquer função satisfaz a conclusão do teorema do valor intermediário.

Da mesma forma como as funções contínuas são consideradas de classe ${\displaystyle C^{0}}$, as funções continuamente diferenciáveis são às vezes consideradas de classe ${\displaystyle C^{1}}$. Uma função é de classe ${\displaystyle C^{2}}$ se a primeira e a segunda derivada da função existem e são contínuas. De forma mais geral, diz-se que uma função é de classe ${\displaystyle C^{k}}$ se as primeiras ${\displaystyle k}$ derivadas ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ todas existem e são contínuas. Se as derivadas ${\displaystyle f^{(n)}}$ existem para todos os inteiros positivos ${\textstyle n}$, a função é suave ou equivalente, de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Diferenciabilidade em dimensões superiores

Uma função de várias variáveis reais f: R^m → Rⁿ é dita diferenciável em um ponto x₀ se existe um mapa linear J: R^m → Rⁿ tal que:

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0}$

Se uma função é diferenciável em x₀, então todas as derivadas parciais existem em x₀, e o mapa linear J é dado pela matriz jacobiana, uma matriz n × m neste caso. Uma formulação semelhante da derivada de dimensão superior é fornecida pelo lema do incremento fundamental encontrado no cálculo de variável única.

Se todas as derivadas parciais de uma função existem na vizinhança de um ponto x₀ e são contínuas no ponto x₀, então a função é diferenciável naquele ponto x₀.

Entretanto, a existência das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direcionais) não garante que uma função seja diferenciável em um ponto. Por exemplo, a função f: R² → R definida por:

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{se }}y\neq x^{2}\\0&{\text{se }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

não é diferenciável em (0, 0), mas todas as derivadas parciais e direcionais existem neste ponto. Para um exemplo contínuo, a função

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{se }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{se }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

não é diferenciável em (0, 0), mas novamente todas as derivadas parciais e direcionais existem.

Ver também: Cálculo multivariável

Diferenciabilidade em análise complexa

Ver artigo principal: Função holomorfa

Na análise complexa, a diferenciabilidade complexa é definida usando a mesma definição que as funções reais de variável única. Isso é permitido pela possibilidade de dividir números complexos. Assim, uma função ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ é dita diferenciável em ${\textstyle x=a}$ quando:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

Embora essa definição pareça semelhante à diferenciabilidade de funções reais de variável única, é, no entanto, uma condição mais restritiva. Uma função ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, que é diferenciável complexa em um ponto ${\textstyle x=a}$ é automaticamente diferenciável nesse ponto, quando vista como uma função ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$. Isso ocorre porque a diferenciabilidade complexa implica que:

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0}$

No entanto, uma função ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ pode ser diferenciável como uma função multivariável, embora não seja diferenciável complexa. Por exemplo, ${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ é diferenciável em cada ponto, visto como a função real bivariável ${\displaystyle f(x,y)=x}$, mas não é diferenciável em nenhum ponto porque o limite ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$ fornece valores diferentes para diferentes abordagens de 0.

Qualquer função que é complexamente diferenciável na vizinhança de um ponto é chamada de holomorfa naquele ponto. Tal função é necessariamente infinitamente diferenciável e, de fato, analítica.

Funções diferenciáveis em variedades

Se M é uma variedade diferenciável, uma função real ou de valor complexo f em M é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) gráfico de coordenadas definido em torno de p. Se M e N são variedades diferenciáveis, uma função f: M → N é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) gráfico de coordenadas definido em torno de p e f(p).

Referências

1. Banach, S. (1931). «Über die Baire'sche kategorie gewisser funktionenmengen». Studia mathematica. 3 (1): 174 – 179. doi:10.4064/sm-3-1-174-179 . Citado por Hewitt, E.; Stromberg, K. (1963). Real and abstract analysis (em inglês). [S.l.]: Springer-Verlag. Theorem 17.8