Em álgebra linear, o quociente de um espaço vetorial V {\displaystyle V} por um subespaço N {\displaystyle N} é um espaço vetorial obtido pelo "colapso" de N {\displaystyle N} a zero. O espaço obtido é chamado de espaço quociente e é denotado por V / N {\displaystyle V/N} .
Formalmente, a construção do conceito ocorre na seguinte maneira (Halmos 1974, §21-22). Seja V {\displaystyle V} um espaço vetorial sobre o corpo K {\displaystyle K} , e seja N {\displaystyle N} um subespaço de V {\displaystyle V} . Define-se uma relação de equivalência ∼ {\displaystyle \sim } em V {\displaystyle V} ao afirmar que x ∼ y {\displaystyle x\sim y} ocorre se x − y ∈ N {\displaystyle x-y\in N} . Isto é, x {\displaystyle x} está relacionado a y {\displaystyle y} se um puder ser obtido a partir do outro ao somar um elemento pertencente a N {\displaystyle N} . Dessa definição, é possível deduzir que qualquer elemento em N {\displaystyle N} está relacionado ao vetor nulo; mais precisamente, todos os vetores em N {\displaystyle N} são mapeados para a classe de equivalência do vetor nulo.
A classe de equivalência (ou, nesse caso, a coclasse) de x {\displaystyle x} é frequentemente denotada como
já que é dada por
O espaço quociente V/N é então definido como V / ∼ {\displaystyle V/\sim } , o conjunto de todas as classes de equivalência sobre V {\displaystyle V} por ∼ {\displaystyle \sim } . A multiplicação por escalares e a adição estão definidas em classes de equivalência como
Não é difícil verificar que essas operações estão bem definidas (isto é, não dependem na escolha de representação). Essas operações tornam o espaço quociente V / N {\displaystyle V/N} em um espaço vetorial sobre K {\displaystyle K} com N {\displaystyle N} sendo a classe zero, [ 0 ] {\displaystyle [0]} .
O mapeamento que associa à v ∈ V {\displaystyle v\in V} a classe de equivalência [ v ] {\displaystyle [v]} é conhecido como mapeamento quociente.