Equivalência lógica

Na lógica, afirmações ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ são logicamente equivalentes se tiverem o mesmo conteúdo lógico. Isto é, se elas tiverem o mesmo valor de verdade em todos os modelos.^[1] A equivalência lógica de ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ às vezes é expressa como ${\displaystyle p\equiv q}$, ${\displaystyle {\textsf {E}}pq}$, ou ${\displaystyle p\iff q}$. No entanto, esses símbolos também são usados para equivalência material. A interpretação adequada depende do contexto. A equivalência lógica é diferente da equivalência material, embora os dois conceitos estejam intimamente relacionados.

Equivalências lógicas

Equivalência	Nome
${\displaystyle p\wedge \top \equiv p}$ ${\displaystyle p\vee \bot \equiv p}$	Identidade
${\displaystyle p\vee \top \equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \bot \equiv \bot }$	Dominação
${\displaystyle p\vee p\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge p\equiv p}$	Idempotência
${\displaystyle \neg (\neg p)\equiv p}$	Dupla negação
${\displaystyle p\vee q\equiv q\vee p}$ ${\displaystyle p\wedge q\equiv q\wedge p}$	Comutatividade
${\displaystyle (p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)}$	Associatividade
${\displaystyle p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)}$ ${\displaystyle p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}$	Propriedade distributiva
${\displaystyle \neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q}$ ${\displaystyle \neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q}$	Leis de De Morgan
${\displaystyle p\vee (p\wedge q)\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge (p\vee q)\equiv p}$	Absorção
${\displaystyle p\vee \neg p\equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \neg p\equiv \bot }$	Negação

Equivalências lógicas envolvendo afirmações condicionais:

1. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}$
2. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}$
3. ${\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}$
4. ${\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}$
5. ${\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}$
6. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}$
7. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)~~~}$ (Dilema simples)
8. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (r\implies s)\equiv r\vee s~~~~~~}$ (Dilema complexo)
9. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (\neg p\implies r)\equiv r~~~~~~}$ (Dilema especial)
10. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}$
11. ${\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}$
12. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (q\implies r)\equiv p\implies r~~~~}$ (Silogismo hipotético)
13. ${\displaystyle p\implies (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r~~~~}$ (Importação)

Equivalências lógicas envolvendo bicondicionais:

1. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}$
2. ${\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}$
4. ${\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q}$

Exemplo

As afirmações a seguir são logicamente equivalentes:

1. Se Lúcia está na Dinamarca, então ela está na Europa. (Em símbolos, ${\displaystyle d\implies e}$.)
2. Se Lúcia não está na Europa, então ela não está na Dinamarca. (Em símbolos, ${\displaystyle \neg e\implies \neg d}$.)

Sintaticamente, (1) e (2) são deriváveis uns dos outros através das regras de contraposição e dupla negação. Semanticamente, (1) e (2) são verdadeiros exatamente nos mesmos modelos (interpretações, avaliações); ou seja, aqueles em que Lúcia está na Dinamarca é falsa ou Lúcia está na Europa é verdade.

(Observe que, neste exemplo, é assumida a lógica clássica. Algumas lógicas não clássicas não consideram (1) e (2) logicamente equivalentes.)

Relação com equivalência material

A equivalência lógica é diferente da equivalência material. Fórmulas ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ são logicamente equivalentes se e somente se a declaração de sua equivalência material (${\displaystyle p\iff q}$) é uma tautologia.^[2]

A equivalência material de ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ (frequentemente escrita ${\displaystyle p\iff q}$) é em si uma outra afirmação na mesma linguagem de objeto como ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$. Esta afirmação expressa a ideia "'${\displaystyle p}$ se e somente se ${\displaystyle q}$'". Em particular, o valor de verdade de ${\displaystyle p\iff q}$ pode mudar de um modelo para outro.

A afirmação de que duas fórmulas são logicamente equivalentes é uma declaração na metalinguagem, expressando uma relação entre duas afirmações ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$. As afirmações são logicamente equivalentes se, em cada modelo, elas tiverem o mesmo valor de verdade.

Ver também

• Condições necessárias e suficientes
• Se e somente se
• Relação de equivalência

Notas

1. Mendelson 1979:56
2. Copi et at. 2014:348

Referências

• Irving M. Copi, Carl Cohen, e Kenneth McMahon, Introduction to Logic, 14ª edição, Pearson New International Edition, 2014.
• Elliot Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, segunda edição, 1979.
• Mortari, C. A. (2001). Introdução à lógica. São Paulo: UNESP. ISBN 8571393370 
• R. Scheinerman, Edward (2003). Matemática Discreta. Uma Introdução. São Paulo: Cengage. ISBN 8522102910