Distribuição de probabilidade condicional

Uma distribuição de probabilidade conjunta com os valores observados.

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore
v d e

Na teoria da probabilidade e estatística, dadas duas variáveis aleatórias ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ distribuídas conjuntamente, a distribuição de probabilidade condicional de ${\displaystyle Y}$ dado ${\displaystyle X}$ é a distribuição de probabilidade de ${\displaystyle Y}$ quando ${\displaystyle X}$ é um determinado valor conhecido. Em alguns casos, as probabilidades condicionais podem ser expressas como funções contendo um valor não especificado ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ como um parâmetro. No caso em que ambos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são variáveis categóricas, uma tabela de probabilidade condicional é normalmente usada para representar a probabilidade condicional. A distribuição condicional contrasta com a distribuição marginal de uma variável aleatória, que é a distribuição sem referência para o valor da outra variável.

Se a distribuição condicional de ${\displaystyle Y}$ dado ${\displaystyle X}$ é uma distribuição contínua, então a sua função densidade de probabilidade é conhecida como a função densidade condicional. As propriedades de uma distribuição condicional, tal como o momento, são muitas vezes chamadas por nomes correspondentes, tais como média condicional e variância condicional.

Geralmente, pode-se referir a distribuição condicional de um subconjunto de um conjunto de mais de duas variáveis; esta distribuição condicional é contingente sobre os valores de todas as variáveis restantes, e se mais do que uma variável é incluída no subconjunto então esta distribuição condicional é a distribuição conjunta condicional das variáveis.

Distribuições discretas

Para variáveis aleatórias discretas, a função massa de probabilidade condicional de ${\displaystyle Y}$ dada a ocorrência do valor ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ pode ser escrita de acordo com a sua definição como:

${\displaystyle p_{Y}(y\mid X=x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x\ \cap Y=y)}{P(X=x)}}}$.

Devido à ocorrência de ${\displaystyle P(X=x)}$ em um denominador, isto é definido apenas para não-nulos (portanto, estritamente positivos) ${\displaystyle P(X=x)}$.^[1]

A relação com a distribuição de probabilidade de ${\displaystyle X}$ dado ${\displaystyle Y}$ é:

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(X=x\ \cap Y=y)=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y)}$.

Distribuições contínuas

Da mesma forma, para variáveis aleatórias contínuas, a função de densidade de probabilidade condicional de ${\displaystyle Y}$ dada a ocorrência do valor ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ pode ser escrita como

${\displaystyle }$${\displaystyle f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}$,

onde ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$ dá a densidade conjunta de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, enquanto que ${\displaystyle f_{X}(x)}$ dá a densidade marginal de ${\displaystyle X}$. Também neste caso é necessário que ${\displaystyle f_{X}(x)>0}$.

A relação com a distribuição de probabilidade de ${\displaystyle X}$ dado ${\displaystyle Y}$ é dada por:

${\displaystyle f_{Y}(y\mid X=x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x\mid Y=y)f_{Y}(y)}$.^[2]

O conceito de uma distribuição condicional de uma variável aleatória contínua não é tão intuitivo quanto parece: o paradoxo de Borel mostra que funções densidade de probabilidade condicionais não precisam ser invariantes sob transformações de coordenadas.

Relação com a independência

As variáveis aleatórias ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ são independentes se e somente se a distribuição condicional de ${\displaystyle Y}$ dado ${\displaystyle X}$ é, para todos os valores possíveis de ${\displaystyle X}$, igual à distribuição não condicional de ${\displaystyle Y}$. Para variáveis aleatórias discretas isto significa que ${\displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}$ para todos os ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$. Para variáveis aleatórias contínuas ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, tendo uma função de densidade conjunta, isso significa que ${\displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}$ para todos os ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$.

Propriedades

Visto como uma função de ${\displaystyle y}$ para um dado ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle P(Y=y|X=x)}$ é uma probabilidade e, portanto, a soma de todos os ${\displaystyle y}$ (ou a integral, se é uma densidade de probabilidade condicional) é igual a 1. Visto como uma função de ${\displaystyle x}$ dado ${\displaystyle y}$ é uma função de verossimilhança, de modo que a soma de todos os ${\displaystyle x}$ não precisa ser 1.

Formulação teórica

Seja ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ um espaço de probabilidade, ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ um campo-${\displaystyle \sigma }$ em ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, e ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ uma variável aleatória de valor real (mensurável a respeito do campo-${\displaystyle \sigma }$ de Borel ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Pode se mostrar que existe uma função ${\displaystyle \mu :{\mathcal {R}}^{1}\times \Omega \to \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle \mu (\cdot ,\omega )}$ é a medida de probabilidade em ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$ para cada ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ (isto é, é regular) e ${\displaystyle \mu (H,\cdot )=P(X\in H\mid {\mathcal {G}})}$ (quase certamente) para todo ${\displaystyle H\in {\mathcal {R}}^{1}}$. Para qualquer ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, a função ${\displaystyle \mu (\cdot ,\omega ):{\mathcal {R}}^{1}\to \mathbb {R} }$ é chamada de distribuição de probabilidade condicional de ${\displaystyle X}$ dado ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$. Neste caso,

${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )}$

quase certamente.^[3]

Relação com a expectativa condicional

Para qualquer evento ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\supseteq {\mathcal {B}}}$, definindo a função indicadora:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{se }}\omega \in A,\\0\;&{\text{se }}\omega \notin A,\end{cases}}}$

que é uma variável aleatória. Observe que a expectativa dessa variável aleatória é igual à probabilidade de ${\displaystyle A}$ em si:

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\operatorname {P} (A)}$.

Então, a probabilidade condicional dado ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ é uma função ${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}}):{\mathcal {A}}\times \Omega \to (0,1)}$ de tal forma que ${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})}$ é a expectativa condicional da função indicadora para ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}\mid {\mathcal {B}})}$

Em outras palavras, ${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})}$ é uma função ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-mensurável que satisfaz

${\displaystyle \int _{B}\operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})(\omega )\,\mathrm {d} \operatorname {P} (\omega )=\operatorname {P} (A\cap B)\qquad {\text{para todo}}\quad A\in {\mathcal {A}},B\in {\mathcal {B}}}$.

A probabilidade condicional é regular se ${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {B}})(\omega )}$ é também uma medida da probabilidade para todo ${\displaystyle \omega \in \Omega }$. Uma expectativa de uma variável aleatória em relação a uma probabilidade condicional regular é igual a sua expectativa condicional.

• Para o sigma-álgebra trivial ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ a probabilidade condicional é uma função constante, ${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)\equiv \operatorname {P} (A)}$.
• Para ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$, como descrito acima, ${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {B}})=1_{A}}$.

Veja também

• Probabilidade condicionada
• Probabilidade condicional regular
• Teorema de Bayes

Referências

1. Liberal, Tarciana. Distribuições Condicionais. Curso de Probabilidade II, Aula 11, Departamento de Estatística da UFPB.
2. Wooldridge, Jeffrey M. Introdução À Econometria - Uma Abordagem Moderna (PDF) 4ª ed. [S.l.]: Thomson 
3. Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure 3rd ed. New York: John Wiley and Sons 

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