Corpo de característica zero

Corpo de característica zero é um corpo onde qualquer soma do elemento neutro multiplicativo com si mesmo, 1 + 1 + ... + 1, não pode ter como resultado o elemento neutro aditivo, 0.

Dado um anel com identidade ^{[Nota 1]} (Γ, +, 0_Γ, ., 1_Γ), pode ser que exista alguma soma 1_Γ + 1_Γ + ... + 1_Γ = 0_Γ. Neste caso, a menor quantidade de parcelas n que fazem a soma dar zero é chamada de característica do anel. Caso não seja possível esta soma ser zero, a característica seria infinita, mas a o termo padrão usado pelos matemáticos, neste caso, é dizer que o anel tem característica zero.^[1][2]

No caso do anel ser um domínio de integridade (e todo corpo é um domínio de integridade), a característica do anel é zero ou um número primo p.^[1][2]

Corpos ordenados

Se um corpo pode ser dotado de uma relação de ordem de forma a torná-lo um corpo ordenado, então este corpo tem característica zero.^{[Nota 2]} A demonstração é feita notando-se, primeiro, que, pela propriedade de que o quadrado de qualquer número positivo é positivo, segue-se que 1 > 0. Por indução, prova-se que 1 + 1 + ... + 1 > 0, ou seja, nunca uma soma de uns poderia dar zero.^[1]

Números racionais

Todo corpo de característica zero inclui como subconjunto uma cópia de ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$, e, como consequência, uma cópia de ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$.^[3]

Em um corpo qualquer, pode-se definir, para todo número natural n, um elemento correspondente ${\displaystyle {\hat {n}}=1_{\Gamma }+1_{\Gamma }+\ldots +1_{\Gamma }\,}$ (onde a soma tem n parcelas), e, analogamente, para n inteiro negativo, ${\displaystyle {\hat {n}}=-1_{\Gamma }-1_{\Gamma }-\ldots -1_{\Gamma }\,}$ (onde a soma tem -n parcelas). Caso o corpo tenha característica zero, pode-se definir, para todo número racional q = n/d um elemento no corpo definido como ${\displaystyle {\hat {q}}={\hat {n}}/{\hat {d}}\,}$ (deve-se mostrar que esta definição não é ambígua).^[1]

Pode-se provar que esta operação, ${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \Gamma \ ,f(q)={\hat {q}}\,}$ é um homomorfismo de corpos injetivo. Além disso, se o corpo Γ for um corpo ordenado, esta função também preserva ordem.^[1]

Polinômios

Dado um polinômio irreducível f no anel dos polinômios F[X] de um corpo qualquer F, dizemos que f é um polinômio separável caso f não tenha raízes múltiplas no menor corpo que contém todas suas raízes.^{[Nota 3][4]} Um polinômio é separável se, e somente se, o maior divisor comum (m.d.c.) entre f e f' , definido como a derivada formal de f, for um polinômio de grau, pelo menos, igual a um.^[5] Como em um corpo de característica zero a derivada formal de um polinômio qualquer é outro polinômio de um grau menor (e é zero apenas no caso de um polinômio constante),^{[Nota 4]} e os únicos divisores de um polinômio irreducível f são ele mesmo e 1, segue-se que o m.d.c. entre f e f' é o polinômio 1, portanto todo polinômio é separável.^[6] Um corpo é perfeito quando todo polinômio é separável, portanto temos que todo corpo de característica zero é perfeito.^[7]

Notas e referências

Notas

1. Nos textos de Jonathan L. F. King e , chamdo de ring. A nomenclatura de aneis não é consistente entre os matemáticos, alguns textos definem anel sem a exigência do elemento neutro multiplicativo e chamam de anel com identidade quando o anel tem este elemento, e outros textos definem anel (ring) com a exigência do elemento neutro multiplicativo, e chamam de rng quando a estrutura tem todas propriedades do anel exceto o elemento neutro multiplicativo.
2. No texto de King, escrito como Char(Γ) = infinito.
3. Este corpo existe, e é único a menos de isomorfismo; é chamado, na literatura em inglês, de splitting field.
4. Como exceção para polinômios sobre corpos de característica p, tome, por exemplo, f(X) = X⁴ em GF(2), cuja derivada formal é f'(X) = 0.

Referências

1. Jonathan L. F. King, There is one order-complete ordered-field [https://web.archive.org/web/20131101090947/http://www.math.ufl.edu/~squash/PrCa/ordered-field.pdf Arquivado em 1 de novembro de 2013, no Wayback Machine. [em linha]]
2. Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 2, Ring Fundamentals, 2.1 Basic Definitions and Properties, 2.1.2 Definitions and Comments [em linha]
3. Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 2, Ring Fundamentals, 2.1 Basic Definitions and Properties, 2.1.3 Examples
4. Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 3, Ring Fundamentals, 3.4 Separability, 3.4.1 Definition and Comments [em linha]
5. Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 3, Ring Fundamentals, 3.4 Separability, 3.4.2 Proposition
6. Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 3, Ring Fundamentals, 3.4 Separability, 3.4.3 Corollary
7. Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 3, Ring Fundamentals, 3.4 Separability, Problems For Section 3.4