Anel com identidade

Em matemática, um anel com identidade, ou anel com unidade é um anel com elemento neutro da multiplicação, denominado 1. Esse elemento sempre é único.

Definições Alternativas

Alguns autores, como Serge Lang, definem anel com existência de elemento neutro para a multiplicação. Nesses casos anéis sem unidade são classificados como pseudoanéis.

Unicidade da Unidade

Proposição:Se um anel ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ possui unidade, então ela é única.

Prova: A prova segue por absurdo supondo a existência de duas identidades.

Seja ${\displaystyle 1,1'\in {\mathcal {A}}}$ identidades distintas, ou seja, ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {A}}}$ temos ${\displaystyle 1\cdot x=x}$ e ${\displaystyle 1'\cdot x=x}$. Segue que ${\displaystyle 1\cdot 1'=1'}$ mas ${\displaystyle 1'}$ também é unidade, então ${\displaystyle 1\cdot 1'=1}$ portanto ${\displaystyle 1=1'}$

Unidades Versus Anel com Unidade

Dentro de um anel ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ podemos definir o conjunto ${\displaystyle U({\mathcal {A}})=\{a\in {\mathcal {A}}|\exists b\in {\mathcal {A}},a\cdot b=1\}\subseteq {\mathcal {A}}}$, em palavras, ${\displaystyle U({\mathcal {A}})}$ denota o conjunto de todos os elementos invertíveis de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ e o chamamos de Conjunto das Unidades. Portanto a noção de unidade não está associada ao elemento neutro da multiplicação ${\displaystyle 1_{\mathcal {A}}}$ e sim a existência de inverso multiplicativo. Dessa forma, o termo unidades de um anel não contradiz a proposição acima pois é diferente do termo anel com unidade, o qual se refere à anéis que possuem elemento neutro para a multiplicação.

Exemplos

• O anel dos números inteiros tem unidade;
• Todo domínio de integridade é um anel com unidade;
• O anel das matrizes ${\displaystyle n\times n}$ possui unidade;

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