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Problema de matemática em aberto:

A menos de uma quantidade finita de exceções, todo intervalo $[x^{m},y^{n}]$ com x, y, m, n ∈ {2, 3, 4, ...} contém ao menos um número primo?

(mais problemas em aberto da matemática)

A Conjectura de Redmond-Sun é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos, proposta por Stephen Redmond e Zhi-Wei Sun em 2006.^[1]

Conjectura

A conjectura afirma que todo intervalo [x^m, yⁿ] com x, y, m, n ∈ {2, 3, 4, ...} contém números primos, com uma quantidade finita de exceções. Para exemplificar, tomemos o intervalo [2³, 5⁴] = [8, 625]. Os seguintes primos podem ser encontrados nesse intervalo:

11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617 e 619.

Portanto, este intervalo contém 110 números primos. ^[1]

Outro exemplo pode ser visualizado tomando o intervalo [529², 6⁷] = [279841, 279936]. Os seguintes primos podem ser encontrados nesse intervalo:

279847, 279857, 279863, 279883, 279913 e 279919. ^[2]

Portanto, o intervalo [529², 6⁷] contém 6 números primos.

Exceções

A conjectura propõe que o intervalo [x^m, yⁿ] sempre possui números primos, a menos de finitas exceções. Essas exceções são as seguintes:

$[2^{3},\,3^{2}],\ [5^{2},\,3^{3}],\ [2^{5},\,6^{2}],\ [11^{2},\,5^{3}],\ [3^{7},\,13^{3}],$ : $[5^{5},\,56^{2}],\ [181^{2},\,2^{15}],\ [43^{3},\,282^{2}],\ [46^{3},\,312^{2}],\ [22434^{2},\,55^{5}].$

Não se sabe se existem outras exceções além das citadas acima.^[1]

A função ${\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}$

Quantidade de primos no intervalo [2^m, 3ⁿ], para m,n positivos menores ou iguais a 5.

Pode-se interpretar a conjectura de outra forma a partir da definição de uma função ${\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}$ que associa a cada intervalo a quantidade de primos contida no mesmo. Por exemplo,

${\mathcal {RS}}_{[2^{3},3^{2}]}=0$

${\mathcal {RS}}_{[2^{4},3^{3}]}=3$

${\mathcal {RS}}_{[2^{3},5^{4}]}=110$

${\mathcal {RS}}_{[8^{7},7^{8}]}=242153$ ^[3]

O gráfico mostra a quantidade de primos no intervalo [2^m, 3ⁿ], para m,n menores ou iguais a 5.

Formulações alternativas

A partir da definição da função ${\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}$ , pode-se formular a conjectura do seguinte modo: A função ${\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}$ possui uma quantidade finita de raízes. A função ${\mathcal {RS}}_{[x^{m},y^{n}]}$ pode também ser interpretada como uma função de 4 variáveis inteiras positivas ${\mathcal {RS}}(x,y,m,n)$ , e utilizando a função de distribuição dos números primos, pode ser definida explicitamente como:

{\mathcal {RS}}(x,y,m,n)=\pi (y^{n})-\pi (x^{m})

(i)

E pode-se ainda criar outra formulação da conjectura com base exclusivamente na função $\pi (x)$ . Uma vez que as raízes de ${\mathcal {RS}}(x,y,m,n)$ são as quádruplas $(x,y,m,n)$ que satisfazem

{\mathcal {RS}}(x,y,m,n)=0

(ii),

temos substituindo (ii) em (i) que:

0=\pi (y^{n})-\pi (x^{m})\rightarrow \pi (y^{n})=\pi (x^{m})

Então, pode-se enunciar a conjectura de Redmond-Sun da seguinte forma: A igualdade

\pi (y^{n})=\pi (x^{m})

possui uma quantidade finita de soluções para x,y,m,n $\in \mathbb {Z} _{+}$ (nos inteiros estritamente positivos).

Status

A conjectura já foi verificada para intervalos [x^m, yⁿ] menores que 10¹². A conjectura inclui a Conjectura de Catalan e a Conjectura de Legendre como casos especiais. Também possui relações com a conjectura abc, como mostrado por Carl Pomerance.