Caráter (matemática)

Em matemática, um caráter é (mais comumente) um tipo especial de função de um grupo a um corpo (tal como os números complexos). Existem pelo menos dois significados distintos em sobreposição. Outros usos da palavra "caráter" são quase sempre qualificados.

Caráter multiplicativo

Um caráter multiplicativo (ou caráter linear, ou simplesmente caráter) sobre um grupo ${\displaystyle G}$ é um homomorfismo de grupo de ${\displaystyle G}$ ao grupo multiplicativo de um corpo,^[1] usualmente o corpo dos números complexos. Se ${\displaystyle G}$ é um grupo abeliano, então o conjunto ${\displaystyle Ch(G)}$ destes morfismos formam um grupo sob a operação

${\displaystyle X_{a}X_{b}=X_{ab}}$

Este grupo é referido como o caráter de um grupo de ${\displaystyle G}$. Algumas vezes somente caráteres unitários são considerados (estão esta imagem está no círculo unitário); outros tipos de homomorfismos são então chamados quase-caráteres. Caráteres de Dirichlet podem ser vistos como um caso especial desta definição.

Caráter de uma representação

Ver artigo principal: Teoria do caráter

O caráter de uma representação ${\displaystyle \varphi }$ de um grupo ${\displaystyle G}$ sobre um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ sobre um campo ${\displaystyle F}$ é o traço da representação ${\displaystyle \varphi }$.^[2] Em geral, o traço não é um grupo de homomorfismo, nem o conjunto de traços formam um grupo. Os caráteres de uma representação monodimensional são idênticos à representações monodimensionais, então a noção acima de caráter multiplicativo pode ser vista como um caso especial de caracteres de mais altas dimensões. O estudo de representações usando caráteres é chamado "teoria do caráter" e caráteres monodimensionais são também chamados "caráteres lineares" dentro deste contexto.

Ver também

• Caráter de Dirichlet
• Caráter de Harish-Chandra
• Caráter de Hecke
• Caráter infinitesimal
• Paridade de uma permutação ou "caráter alternante"

Referências

1. Artin, Emil (1966), Galois Theory, Notre Dame Mathematical Lectures, number 2, Arthur Norton Milgram (Reprinted Dover Publications, 1997), ISBN 978-0486623429
2. Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90190-6 .

Ligações externas

• Character of a group representation - PlanetMath (em inglês)
• Group Character - Wolfram MathWorld (em inglês)

• Portal da matemática