Anel artiniano

Em álgebra abstrata, um anel artiniano é um anel que satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais. Eles também são chamados de anéis de Artin e são assim chamados em homenagem a Emil Artin, que foi o primeiro a descobrir que a condição de cadeia descendente para ideias generaliza simultaneamente os anéis finitos e anéis que são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo. A definição de anéis artinianos pode ser reformulada trocando-se a condição de cadeia descendente por uma noção equivalente: a condição minimal.

Um anel é artiniano a esquerda se ele satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à esquerda, artiniano à direita se satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à direita e artiniano se ele é artiniano à direita e à esquerda. Para anéis comutativos as definições à esquerda e à direita coincidem, mas em geral elas são distintas uma da outra.

O Teorema de Artin–Wedderburn caracteriza todos os anéis simples artinianos como anéis matriciais sobre um anel com divisão. Isso implica que um anel simples é artiniano à esquerda se e somente se ele é artiniano à direita.

Embora a condição de cadeia descendente pareça ser dual à condição de cadeia ascendente, em anéis ela é de fato a condição mais forte. Especificamente, uma consequência do teorema de Akizuki–Hopkins–Levitzki é que um anel artiniano à esquerda (à direita) é automaticamente um anel noetheriano à esquerda (à direita). Isso não é verdade para módulos em geral, ou seja, um módulo artiniano não precisa ser um módulo noetheriano.

Exemplos

• Um domínio de integridade artiniano é um corpo.
• Um anel com uma quantidade finita de ideais, digamos à esquerda, é artiniano à esquerda. Em particular, um anel finito (tal como ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$) é artiniano à esquerda e à direita.
• Seja ${\displaystyle k}$ um corpo. Então ${\displaystyle k[t]/(t^{n})}$ é artiniano para todo inteiro positivo Artinian ${\displaystyle n}$.
• Se ${\displaystyle I}$ é um ideal não nulo de um domínio de Dedekind ${\displaystyle A,}$ então ${\displaystyle A/I}$ é um anel artiniano principal.^[1]
• Para cada ${\displaystyle n\geq 1}$, o anel completo de matrizes ${\displaystyle M_{n}(R)}$ sobre um anel artiniano à esquerda (respectivamente noetheriano à esquerda) ${\displaystyle R}$ é artiniano à esqueda (respectivamente noetheriano à esquerda).^[2]

O anel dos inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ é um anel noetheriano que não é artiniano.

Módulos sobre anéis artinianos

Seja ${\displaystyle M}$ um módulo à esquerda sobre um anel artiniano. Então as seguintes condições são equivalentes:^[3]

1. ${\displaystyle M}$ é finitamente gerado
2. ${\displaystyle M}$ tem comprimento finito
3. ${\displaystyle M}$ é noetheriano
4. ${\displaystyle M}$ é artiniano.

Anéis comutativos artinianos

Seja A um anel comutativo noetheriano com unidade. Então as seguintes condições são equivalentes.

• A é artiniano.
• A é um produto finito de aneis locais artinianos comutativos.^[4]
• A / nil(A) é um anel semisimples, onde nil(A) é o nilradical de A^{[carece de fontes?]}.^[5]
• Todo módulo finitamente gerado sobre A tem comprimento finito. (ver acima)
• A tem dimensão zero.^[6] (Em particular, o nilradical é o radical de Jacobson pois os ideias primos são maximais.)
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ é finito e discreto.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ é discreto.^[7]

Seja k um corpo e A uma k-álgebra finitamente gerada. Então A é artiniana se e somente se A é finitamente gerada como k-módulo.

Um anel local artiniano é completo. Um quociente e uma localização de um anel artiniano é artiniano.

Ver também

• Álgebra de Artin
• Ideal artiniano
• Módulo serial
• Anel semiperfeito
• Anel noetheriano

Notas

1. Teorema 459 de http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
2. Cohn 2003, 5.2 Exercício 11
3. Bourbaki, VIII, pg 7
4. Atiyah & Macdonald 1969, Teoremas 8.7
5. Esboço: Em aneis comutativos, nil(A) está contido no radical de Jacobson de A. Como A/nil(A) é semisimples, nil(A) é na verdade igual ao radical de Jacobson de A. Pelo teorema de Levitzky, nil(A) é um ideal nilpotente. Estes dois últimos fatos mostram que A é um anel semiprimário, e pelo teorema de Hopkins–Levitzki A é artiniano.
6. Atiyah & Macdonald 1969, Teoremas 8.5
7. Atiyah & Macdonald 1969, Capítulo 8, Exercício 2.

Referências

• Auslander, Maurice; Reiten, Idun; Smalø, Sverre O. (1995), Representation theory of Artin algebras, ISBN 978-0-521-41134-9, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 36, Cambridge University Press, MR 1314422, doi:10.1017/CBO9780511623608 
• Bourbaki, Algèbre
• Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712–730.
• Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, ISBN 978-0-201-40751-8, Westview Press 
• Cohn, Paul Moritz (2003). Basic algebra: groups, rings, and fields. [S.l.]: Springer. ISBN 978-1-85233-587-8