Análise topológica de dados

Em matemática aplicada, a análise topológica de dados (TDA, na abreviatura do nome em inglês, topological data analysis) é uma abordagem para a análise de conjuntos de dados por meio de técnicas da topologia. A extração de informações de conjuntos de dados de dimensão alta, incompletos e com ruídos é um desafio. A TDA fornece uma estrutura geral para analisar esses dados de maneira insensível à métrica específica escolhida e fornece redução de dimensionalidade e robustez ao ruído. Além disso, ela herda funtorialidade, um conceito fundamental da matemática moderna, de sua natureza topológica, o que lhe permite adaptar-se às novas ferramentas matemáticas.

A motivação inicial é estudar a forma dos dados. A TDA combinou a topologia algébrica e outras ferramentas da matemática pura para permitir o estudo matematicamente rigoroso da "forma". A ferramenta principal é a homologia persistente, uma adaptação da homologia para dados de nuvem de pontos. A homologia persistente foi aplicada a muitos tipos de dados em muitas áreas. Além disso, sua base matemática também é de importância teórica. As características exclusivas da TDA fazem dela uma ponte promissora entre topologia e geometria.

Teoria básica

Intuição

A premissa subjacente à TDA é que a forma é importante. Dados reais em altas dimensões quase sempre são esparsos e tendem a ter características de baixa dimensão relevantes. Uma tarefa de TDA é fornecer uma caracterização precisa desse fato. Um exemplo ilustrativo é um sistema predador-presa simples, governado pelas equações de Lotka-Volterra.^[1] Pode-se observar facilmente que a trajetória do sistema forma um círculo fechado no espaço de estados. A TDA fornece ferramentas para detectar e quantificar esse movimento recorrente.^[2]

Muitos algoritmos para a análise de dados, incluindo aqueles usados na TDA, exigem a escolha de vários parâmetros. Sem conhecimento prévio do domínio, é difícil escolher a coleção correta de parâmetros para um conjunto de dados. A principal percepção da homologia persistente é que podemos usar as informações obtidas de todos os valores de um parâmetro. É claro que apenas essa percepção é fácil de fazer; a parte difícil é codificar essa enorme quantidade de informações em um formato compreensível e fácil de representar. Com a TDA, há uma interpretação matemática quando a informação é um grupo de homologia. Em geral, a suposição é que as características que persistem para uma ampla variedade de parâmetros são "verdadeiras" características. Presume-se que as características que persistem apenas para uma faixa estreita de parâmetros sejam ruídos, embora a justificativa teórica para isso não seja clara.^[3]

História antiga

Os precursores do conceito completo de homologia persistente apareceram gradualmente ao longo do tempo.^[4] Em 1990, Patrizio Frosini introduziu a função tamanho, que é equivalente à 0ª homologia persistente.^[5] Quase uma década depois, Vanessa Robins estudou as imagens de homomorfismos induzidos pela inclusão.^[6] Finalmente, logo em seguida, Edelsbrunner et al. introduziram o conceito de homologia persistente juntamente com um algoritmo eficiente e sua visualização como um diagrama de persistência.^[7] Carlsson et al. reformularam a definição inicial e deu um método de visualização equivalente chamado códigos de barras de persistência,^[8] interpretando a persistência na linguagem da álgebra comutativa.^[9]

Em topologia algébrica, a homologia persistente surgiu através do trabalho de Barannikov na teoria de Morse. O conjunto de valores críticos de função Morse suave foi particionado canonicamente em pares "nascimento-morte", complexos filtrados foram classificados e a visualização de seus invariantes, equivalente ao diagrama de persistência e códigos de barras de persistência, foi dada em 1994 pela forma canônica de Barannikov.^[10]

Conceitos

Alguns conceitos amplamente usados são apresentados a seguir. Observe que algumas definições podem variar de autor para autor.

Uma nuvem de pontos é frequentemente definida como um conjunto finito de pontos em algum espaço euclidiano, mas pode ser considerada qualquer espaço métrico finito.

O complexo de Čech de uma nuvem de pontos é o nervo da cobertura de bolas com um raio fixo em torno de cada ponto da nuvem.

Um módulo de persistência ${\displaystyle \mathbb {U} }$ indexado por ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ consiste de um espaço vetorial ${\displaystyle U_{t}}$, para cada ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$, e uma transformação linear ${\displaystyle u_{t}^{s}:U_{s}\to U_{t}}$ sempre que ${\displaystyle s\leq t}$, de tal modo que ${\displaystyle u_{t}^{t}=1}$ para todo ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle u_{t}^{s}u_{s}^{r}=u_{t}^{r}}$ sempre que ${\displaystyle r\leq s\leq t.}$ ^[11] Uma definição equivalente é um funtor de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ considerado como um conjunto parcialmente ordenado para a categoria dos espaços vetoriais.

O grupo de homologia persistente ${\displaystyle PH}$ de uma nuvem de pontos é o módulo de persistência definido como ${\displaystyle PH_{k}(X)=\prod H_{k}(X_{r})}$, em que ${\displaystyle X_{r}}$ é o complexo de Čech de raio ${\displaystyle r}$ da nuvem de pontos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle H_{k}}$ é o grupo de homologia.

Um código de barras de persistência é um multiconjunto de intervalos em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e um diagrama de persistência é um multiconjunto de pontos em ${\displaystyle \Delta }$ ( ${\displaystyle :=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u,v\geq 0,u\leq v\}}$ )

A distância de Wasserstein entre dois diagramas de persistência ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ é definida como $${\displaystyle W_{p}[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\left[\sum _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q}\right]^{1/p}}$$ em que ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$ e ${\displaystyle \varphi }$ varia sobre as bijeções entre ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ . Para uma ilustração, pode consultar a figura 3.1 em Munch.^[12] A distância de gargalo entre ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ é $${\displaystyle W_{\infty }[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q}.}$$ Este é um caso especial da distância de Wasserstein, obtido ao considerar ${\displaystyle p=\infty }$ .

Propriedade básica

Teorema da estrutura

O primeiro teorema de classificação para a homologia persistente apareceu em 1994^[10] através das formas canônicas de Barannikov. O teorema da classificação que interpreta a persistência na linguagem da álgebra comutativa apareceu em 2005:^[9] para um módulo de persistência finitamente gerado ${\displaystyle C}$ com coeficientes em um corpo ${\displaystyle F}$, $${\displaystyle H(C;F)\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).}$$ Intuitivamente, as partes livres correspondem aos geradores da homologia que aparecem no nível da filtração ${\displaystyle t_{i}}$ e nunca desaparecem, enquanto as partes de torção correspondem às que aparecem no nível da filtração ${\displaystyle r_{j}}$ e duram por ${\displaystyle s_{j}}$ etapas da filtração (ou equivalentemente, desaparecem no nível ${\displaystyle s_{j}+r_{j}}$ da filtração).^[10]

A homologia persistente é visualizada através de um código de barras ou diagrama de persistência. O código de barras originou-se na matemática abstrata. Especificamente, a categoria dos complexos filtrados finitos sobre um corpo é semissimples. Qualquer complexo filtrado é isomorfo à sua forma canônica, uma soma direta de complexos filtrados simples uni e bidimensionais.

Estabilidade

A estabilidade é desejável por fornecer robustez contra ruídos. Se ${\displaystyle X}$ é qualquer espaço homeomorfo a um complexo simplicial, e ${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$ são funções tame contínuas,^[13] então os espaços vetoriais de persistência ${\displaystyle \{H_{k}(f^{-1}([0,r]))\}}$ e ${\displaystyle \{H_{k}(g^{-1}([0,r]))\}}$ são apresentados finitamente e ${\displaystyle W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert f-g\rVert _{\infty }}$, onde ${\displaystyle W_{\infty }}$ refere-se à distância de gargalo^[14] e ${\displaystyle D}$ é a aplicação que leva uma função tame contínua no diagrama de persistência de sua ${\displaystyle k}$-ésima homologia.

Fluxo de trabalho

O fluxo de trabalho básico na TDA é:^[15]

Nuvem de pontos

${\displaystyle \to }$

complexos aninhados

${\displaystyle \to }$

módulo de persistência

${\displaystyle \to }$

código de barras ou diagrama

1. Se ${\displaystyle X}$ é uma nuvem de pontos, substitua ${\displaystyle X}$ por uma família aninhada de complexos simpliciais ${\displaystyle X_{r}}$ (como o complexo de Čech ou Vietoris-Rips). Esse processo converte a nuvem de pontos para uma filtragem de complexos simpliciais. Tomando-se a homologia de cada complexo nessa filtração obtém-se um módulo de persistência $${\displaystyle H_{i}(X_{r_{0}})\to H_{i}(X_{r_{1}})\to H_{i}(X_{r_{2}})\to \cdots }$$
2. Aplique o teorema da estrutura para fornecer uma versão parametrizada do número de Betti, diagrama de persistência ou, equivalentemente, código de barras.

Graficamente,

Um uso comum de persistência na TDA^[16]

Cálculo

O primeiro algoritmo sobre todos os corpos para homologia persistente no contexto da topologia algébrica foi descrito por Barannikov^[10] através da redução à forma canônica por matrizes triangulares superiores. O primeiro algoritmo para homologia persistente sobre ${\displaystyle F_{2}}$ foi dado por Edelsbrunner et al.^[7] Zomorodian e Carlsson deram o primeiro algoritmo prático para calcular a homologia persistente em todos os corpos.^[9] O livro de Edelsbrunner e Harer fornece orientação geral sobre topologia computacional.^[17]

Uma questão que surge na computação é a escolha do complexo. O complexo de Čech e o complexo de Vietoris – Rips são mais naturais à primeira vista; no entanto, seu tamanho aumenta rapidamente com o número de pontos de dados. O complexo de Vietoris – Rips é preferível ao complexo de Čech porque sua definição é mais simples e o complexo de Čech requer um esforço extra para definir em um espaço métrico finito geral. Foram estudadas formas eficientes de reduzir o custo computacional da homologia. Por exemplo, o complexo α e o complexo testemunha são usados para reduzir a dimensão e o tamanho dos complexos.^[18]

Recentemente, a teoria de Morse discreta mostrou-se promissora para a homologia computacional, pois pode reduzir um complexo simplicial dado a um complexo celular muito menor que é homotópico ao original.^[19] Essa redução pode de fato ser realizada à medida em que o complexo é construído usando a teoria matroide, levando a maiores aumentos de desempenho.^[20] Outro algoritmo recente economiza tempo ignorando as classes de homologia com baixa persistência.^[21]

Há vários pacotes de software disponíveis, como por exemplo javaPlex, Dionysus, Perseus, PHAT, DIPHA, Gudhi, Ripser e TDAstats. Uma comparação entre essas ferramentas é feita por Otter et al.^[22] Giotto-tda é um pacote Python dedicado à integração de TDA no fluxo de trabalho de aprendizagem de máquina por meio de uma API scikit-learn. Um pacote R chamado TDA é capaz de calcular conceitos inventados recentemente, como paisagem e o estimador de distância do núcleo.^[23] O pacote Topology ToolKit é especializado em dados contínuos, definidos em variedades de baixa dimensão (1, 2 ou 3), como os que normalmente são encontrados em visualização científica. Outro pacote R, o TDAstats, implementa a biblioteca rápida C++ Ripser para calcular a homologia persistente.^[24] Ele também usa o onipresente pacote ggplot2 para gerar visualizações de homologia persistente reproduzíveis, personalizáveis e com qualidade de publicação, especificamente códigos de barras topológicos e diagramas de persistência. O código de exemplo abaixo mostra como a linguagem de programação R pode ser usada para calcular a homologia persistente.

# instalar pacote a partir do CRAN e carregar conjuntos de dados
install.packages("TDAstats")
library("TDAstats")
data("unif2d")
data("circle2d")

# calcular a homologia persistente para ambos os conjuntos de dados
unif.phom <- calculate_homology(unif2d)
circ.phom <- calculate_homology(circle2d)

# plotar nuvem de pontos distribuídos uniformemente como um diagrama de persistência
plot_persist(unif.phom)

# plotar nuvem circular de pontos como um código de barras
# nota-se uma única barra persistente, como seria de se esperar para uma circunferência (único 1-ciclo/laço)
plot_barcode(circ.phom)

Diagrama de persistência criado pelo código de exemplo (conjunto de dados unif.2d) para um conjunto de 100 pontos distribuídos uniformemente dentro de um quadrado bidimensional unitário. Nenhum dos 0-ciclos ou 1-ciclos é considerado um sinal verdadeiro (nenhum existe realmente dentro de uma nuvem de pontos quadrada unitária). Embora algumas características pareçam persistir, as marcas nos eixos mostram que a característica mais persistente persiste por menos de 0,20 unidades, o que é relativamente pequeno para uma nuvem de pontos em um quadrado unitário.

Código de barras topológico criado pelo código de exemplo (conjunto de dados circ.2d) para um conjunto de 100 pontos distribuídos uniformemente em torno da circunferência de um círculo. A única e longa característica unidimensional na parte superior do código de barras representa o único 1-ciclo presente em um círculo.

Visualização

É impossível visualizar diretamente dados de dimensão alta. Muitos métodos foram inventados para extrair uma estrutura de baixa dimensão do conjunto de dados, como análise de componentes principais e dimensionamento multidimensional.^[25] No entanto, é importante observar que o próprio problema é mal posto, pois muitas características topológicas diferentes podem ser encontradas no mesmo conjunto de dados. Assim, o estudo da visualização de espaços de alta dimensão é de importância central para a TDA, embora ele não envolva necessariamente o uso de homologia persistente. No entanto, houve tentativas recentes de usar homologia persistente na visualização de dados.^[26]

Carlsson et al. propuseram um método geral chamado MAPPER.^[27] Ele herda a ideia de Serre de que uma cobertura preserva a homotopia.^[28] Uma formulação generalizada de MAPPER é a seguinte:

Sejam ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Z}$ espaços topológicos e ${\displaystyle f:X\to Z}$ uma função contínua. Seja ${\displaystyle \mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ uma cobertura aberta finita de ${\displaystyle Z}$. A saída do MAPPER é o nervo da cobertura pullback ${\textstyle M(\mathbb {U} ,f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}$, em que cada pré-imagem é dividida em suas componentes conexas.^[26] Este é um conceito muito geral, do qual o gráfico Reeb^[29] e as árvores de mesclagem são casos especiais.

Esta não é exatamente a definição original.^[27] Carlsson et al. tomaram ${\displaystyle Z}$ como ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ e o cobriram com conjuntos abertos, tais que no máximo dois se intersectassem.^[3] Essa restrição significa que a saída está na forma de uma rede complexa. Como a topologia de uma nuvem de pontos finitos é trivial, métodos de agrupamento (como ligação única) são usados para produzir o análogo de conjuntos conexos na pré-imagem ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ quando se aplica MAPPER a dados reais.

Em termos matemáticos, o MAPPER é uma variação do gráfico de Reeb. Se o ${\textstyle M(\mathbb {U} ,f)}$ é no máximo unidimensional, então para cada ${\displaystyle i\geq 0}$ , $${\displaystyle H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).}$$ ^[30] A flexibilidade adicional também tem desvantagens. Um problema é a instabilidade, na medida em que alguma mudança na escolha da cobertura pode levar a grandes mudanças na saída do algoritmo.^[31] Houve trabalho no sentido de superar esse problema.^[26]

Três aplicações bem-sucedidas do MAPPER podem ser encontradas em Carlsson et al.^[32] Um comentário de J. Curry sobre as aplicações neste artigo é que "uma característica de interesse comum em aplicações é a presença de flares ou tendrils".^[33]

Está disponível online uma implementação gratuita do MAPPER, escrita por Daniel Müllner e Aravindakshan Babu. O MAPPER também serve como base para a plataforma de IA da Ayasdi.

Persistência multidimensional

A persistência multidimensional é importante para a TDA. O conceito surge tanto na teoria quanto na prática. A primeira investigação da persistência multidimensional foi no início do desenvolvimento da TDA,^[34] e é um dos artigos fundadores da TDA.^[9] A primeira aplicação a aparecer na literatura é um método para comparação de formas, semelhante à invenção da TDA.^[35]

A definição de um módulo de persistência n- dimensional em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é^[33]

• um espaço vetorial ${\displaystyle V_{s}}$ é associado a cada ponto em ${\displaystyle s=(s_{1},...,s_{n})}$
• uma aplicação ${\displaystyle \rho _{s}^{t}:V_{s}\to V_{t}}$ é associada se ${\displaystyle s\leq t}$ ( ${\displaystyle s_{i}\leq t_{i},i=1,...,n)}$
• as aplicações satisfazem ${\displaystyle \rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}}$ para quaisquer ${\displaystyle r\leq s\leq t}$

Pode ser interessante notar que existem controvérsias sobre a definição de persistência multidimensional.^[33]

Uma das vantagens da persistência unidimensional é sua representabilidade por um diagrama ou código de barras. No entanto, não existem invariantes completos discretos de módulos de persistência multidimensionais.^[36] A principal razão para isso é que a estrutura da coleção de indecomponíveis é extremamente complicada pelo teorema de Gabriel na teoria das representações de quiver,^[37] embora um módulo de persistência finitamente n-dim possa ser decomposto unicamente em uma soma direta de indecomponíveis devido ao teorema de Krull-Schmidt.^[38]

No entanto, muitos resultados foram estabelecidos. Carlsson e Zomorodian introduziram o invariante de classificação ${\displaystyle \rho _{M}(u,v)}$, definido como o ${\displaystyle \rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}:M_{u}\to M_{v})}$, no qual ${\displaystyle M}$ é um módulo n-graduado finamente gerado. Em uma dimensão, é equivalente ao código de barras. Na literatura, o invariante de classificação é freqüentemente referido como os números de Betti persistentes (PBNs, na sigla em inglês).^[17] Em muitos trabalhos teóricos, os autores usaram uma definição mais restrita, um análogo da persistência de conjunto subnível. Especificamente, os números de Betti de persistência de uma função ${\displaystyle f:X\to \mathrm {R} ^{k}}$ são dados pela função ${\displaystyle \beta _{f}:\Delta ^{+}\to \mathrm {N} }$, que leva cada ${\displaystyle (u,v)\in \Delta ^{+}}$ em ${\displaystyle \beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))}$, em que ${\displaystyle \Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} :u\leq v\}}$ e ${\displaystyle X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}}$ .

Entre as propriedades básicas estão a monotonicidade e o salto diagonal.^[39] Números de Betti persistentes serão finitos se ${\displaystyle X}$ é um subespaço compacto e localmente contrátil de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.^[40]

Usando um método de foliação, os PBNs k-dim podem ser decompostos em uma família de PBNs 1-dim por dedução de dimensionalidade.^[41] Este método também levou a uma prova de que os PBNs multi-dim são estáveis.^[42] As descontinuidades dos PBNs ocorrem apenas em pontos ${\displaystyle (u,v)(u\leq v)}$ em que ou ${\displaystyle u}$ é um ponto descontínuo de ${\displaystyle \rho _{M}(\star ,v)}$ ou ${\displaystyle v}$ é um ponto descontínuo de ${\displaystyle \rho (u,\star )}$ sob a suposição de que ${\displaystyle f\in C^{0}(X,\mathrm {R} ^{k})}$ e ${\displaystyle X}$ é um espaço topológico compacto e triangulável.^[43]

O espaço persistente, uma generalização do diagrama persistente, é definido como o multiconjunto de todos os pontos com multiplicidade maior que 0 e a diagonal.^[44] Ele fornece uma representação estável e completa dos PBNs. Em um trabalho em andamento, Carlsson et al. tentam dar uma interpretação geométrica da homologia persistente, o que pode fornecer insights sobre como combinar a teoria do aprendizado de máquina com a análise topológica de dados.^[45]

O primeiro algoritmo prático para calcular a persistência multidimensional foi inventado muito cedo.^[46] Posteriormente, muitos outros algoritmos foram propostos, baseados em conceitos como a teoria de Morse discreta^[47] e estimativa de amostras finitas.^[48]

Outras persistências

O paradigma padrão em TDA é frequentemente referido como persistência de subnível. Além da persistência multidimensional, muitos trabalhos foram feitos para estender este caso especial.

Persistência em zigue-zague

As aplicações não nulas no módulo de persistência são restritas pela relação de pré-ordem na categoria. No entanto, os matemáticos descobriram que a unanimidade de direção não é essencial para muitos resultados. “O ponto filosófico é que a teoria de decomposição das representações de grafos é um tanto independente da orientação das arestas dos grafos”.^[49] A persistência em zigue-zague é importante do ponto de vista teórico. Os exemplos dados no artigo de revisão de Carlsson para ilustrar a importância da funcionalidade, todos compartilham algumas de suas características.^[3]

Persistência estendida e persistência de conjuntos de nível

Algumas tentativas é perder a restrição mais estrita da função.^[50] Por favor, consulte as seções sobre categorização e cofeixes e impacto na matemática para mais informações.

É natural estender a homologia de persistência a outros conceitos básicos da topologia algébrica, como a coomologia e a homologia/coomologia relativa.^[51] Uma aplicação interessante é o cálculo de coordenadas circulares para um conjunto de dados por meio do primeiro grupo de coomologia persistente.^[52]

Persistência circular

A homologia de persistência normal estuda funções a valores reais. Funções a valores no círculo podem ser úteis, "a teoria da persistência para aplicações a valores no círculo promete desempenhar para alguns campos vetoriais o papel que a teoria de persistência padrão desempenha para campos escalares", como comentado em D. Burghelea et al.^[53] A principal diferença é que as células de Jordan (muito semelhantes em formato aos blocos de Jordan na álgebra linear) não são triviais em funções a valores no círculo, que seriam zero no caso a valores reais, e combinando com códigos de barras fornecem as invariantes de uma aplicação tame, sob condições moderadas.

Duas técnicas que eles usam são a teoria de Morse-Novikov^[54] e a teoria de representação de grafos.^[55] Resultados mais recentes podem ser encontrados em D. Burghelea et al.^[56] Por exemplo, o requisito de tame pode ser substituído por uma condição muito mais fraca, a continuidade.

Persistência com torção

A prova do teorema da estrutura depende do domínio de base ser corpo, portanto, não foram feitas muitas tentativas de homologia de persistência com torção. Frosini definiu uma pseudométrica neste módulo específico e comprovou sua estabilidade.^[57] Uma de suas novidades é não depender de uma teoria de classificação para definir a métrica.^[58]

Categorificação e cofeixes

Uma vantagem da teoria das categorias é a sua capacidade de elevar resultados concretos a um nível superior, mostrando relações entre objetos aparentemente desconectados. Bubenik et al.^[59] oferecem uma breve introdução da teoria das categorias ajustada para a TDA.

A teoria das categorias é a linguagem da álgebra moderna e tem sido amplamente utilizada no estudo da geometria algébrica e da topologia. Foi notado que "a observação chave de^[9] é que o diagrama de persistência produzido por^[7] depende apenas da estrutura algébrica carregada por este diagrama."^[60] O uso da teoria das categorias na TDA provou ser frutífero.^[59]

Seguindo as notações feitas em Bubenik et al.,^[60] a categoria de indexação ${\textstyle P}$ é qualquer conjunto pré-ordenado (não necessariamente ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {R} }$), a categoria de destino ${\displaystyle D}$ é qualquer categoria (em vez do comumente usado ${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}$ ), e funtores ${\textstyle P\to D}$ são chamados de módulos de persistência generalizados em ${\displaystyle D}$, sobre ${\textstyle P}$.

Uma vantagem de se usar a teoria das categorias na TDA é uma compreensão mais clara dos conceitos e a descoberta de novas relações entre as provas. Considere dois exemplos para ilustração. O entendimento da correspondência entre intercalação e correspondência é de grande importância, uma vez que a correspondência foi o método usado no início (modificado da teoria de Morse). Um resumo dos trabalhos pode ser encontrado em Vin de Silva et al.^[61] Muitos teoremas podem ser provados com muito mais facilidade em um ambiente mais intuitivo.^[58] Outro exemplo é a relação entre a construção de diferentes complexos a partir de nuvens de pontos. Há muito tempo foi notado que os complexos de Čech e de Vietoris-Rips estão relacionados. Especificamente, ${\displaystyle V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)}$.^[62] A relação essencial entre os complexos Cech e Rips pode ser vista muito mais claramente na linguagem categórica.

A linguagem da teoria das categorias também ajuda a expor os resultados em termos reconhecíveis pela comunidade matemática mais ampla. A distância de gargalo é amplamente usada na TDA por causa dos resultados sobre a estabilidade em relação à distância de gargalo.^[11][14] Na verdade, a distância de intercalação é o objeto terminal em uma categoria poset de métricas estáveis em módulos de persistência multidimensionais em um corpo primo.☃☃☃☃

Feixes, um conceito central em geometria algébrica moderna, estão intrinsecamente relacionados à teoria das categorias. Em linhas gerais, os feixes são a ferramenta matemática para entender como as informações locais determinam as informações globais. Justin Curry considera a persistência do conjunto de níveis como o estudo de fibras de funções contínuas. Os objetos que ele estuda são muito semelhantes aos do MAPPER, mas com a teoria dos feixes como fundamento teórico.^[33] Embora nenhuma grande descoberta na teoria de TDA tenha usado a teoria dos feixes, ela é promissora, uma vez que existem muitos teoremas em geometria algébrica relacionados à teoria dos feixes. Por exemplo, uma questão teórica natural é se diferentes métodos de filtragem resultam na mesma saída.^[63]

Estabilidade

A estabilidade é de importância central para a análise de dados, uma vez que dados reais têm ruídos. Com o uso da teoria das categorias, Bubenik et al. distinguiram entre teoremas de estabilidade soft e hard e provaram que os casos flexíveis são formais.^[60] Especificamente, o fluxo de trabalho geral da TDA é

dados

${\displaystyle {\stackrel {F}{\longrightarrow }}}$

módulo de persistência topológica

${\displaystyle {\stackrel {H}{\longrightarrow }}}$

módulo de persistência algébrica

${\displaystyle {\stackrel {J}{\longrightarrow }}}$

invariante discreto

O teorema de estabilidade soft afirma que ${\displaystyle HF}$ é Lipschitz contínuo, e o teorema da estabilidade hard afirma que ${\displaystyle J}$ é Lipschitz contínuo.

A distância do gargalo é amplamente usada na TDA. O teorema de isometria afirma que a distância de intercalação ${\displaystyle d_{I}}$ é igual à distância do gargalo.^[58] Bubenik et al. abstrairam a definição àquela entre functores ${\displaystyle F,G:P\to D}$ quando ${\textstyle P}$ está equipado com uma projeção sublinear ou família superlinear, na qual ainda permanece uma pseudométrica.^[60] Considerando os caracteres magníficos da distância de intercalação,^[64] aqui é apresentada a definição geral de distância de intercalação (em vez da primeira introduzida):^[11] ${\displaystyle \Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}} }$ (uma função de ${\textstyle P}$ para ${\textstyle P}$ que é monótona e satisfaz ${\displaystyle x\leq \Gamma (x)}$ para todo ${\textstyle x\in P}$ ) Uma ${\displaystyle (\Gamma ,K)}$-intercalação entre F e G consiste em transformações naturais ${\displaystyle \varphi :F\Rightarrow G\Gamma }$ e ${\displaystyle \psi :G\Rightarrow FK}$, tais que ${\displaystyle (\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }}$ e ${\displaystyle (\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}}$.

Os dois resultados principais são^[60]

• Seja ${\textstyle P}$ um conjunto pré-ordenado com uma projeção sublinear ou família superlinear. Seja ${\textstyle H:D\to E}$ um funtor entre categorias arbitrárias ${\textstyle D,E}$. Então, para quaisquer dois funtores ${\textstyle F,G:P\to D}$, tem-se ${\textstyle d_{I}(HF,HG)\leq d_{I}(F,G)}$.
• Seja ${\textstyle P}$ um conjunto parcialmente ordenado de um espaço métrico ${\textstyle Y}$, e seja ${\textstyle X}$ um espaço topológico. Sejam também ${\textstyle f,g:X\to Y}$ funções (não necessariamente contínuas), e ${\textstyle F,G}$ os diagramas de persistência correspondentes. Então ${\displaystyle d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$ .

Esses dois resultados resumem muitos resultados sobre a estabilidade de diferentes modelos de persistência.

Para o teorema de estabilidade da persistência multidimensional, consulte a subseção de persistência.

Teorema de estrutura

O teorema de estrutura é de importância central para a TDA; como comentado por G. Carlsson, "o que torna a homologia útil como discriminador entre espaços topológicos é o fato de que existe um teorema de classificação para grupos abelianos finitamente gerados".^[3] (veja o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados).

O principal argumento usado na prova do teorema de estrutura original é o clássico teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais.^[9] No entanto, este argumento falha se o conjunto de índices for ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ .^[3]

Em geral, nem todo módulo de persistência pode ser decomposto em intervalos.^[65] Muitas tentativas foram feitas para relaxar as hipóteses do teorema de estrutura original. O caso dos módulos de persistência pontualmente de dimensão finita indexados por um subconjunto localmente finito de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é resolvido com base no trabalho de Webb.^[66] O resultado mais notável é feito por Crawley-Boevey, que resolveu o caso de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. O teorema de Crawley-Boevey afirma que qualquer módulo de persistência pontualmente de dimensão finita é uma soma direta de módulos de intervalo.^[67]

Para entender o que diz o teorema, alguns conceitos precisam ser introduzidos. Um intervalo em ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ é definido como um subconjunto ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ com a propriedade de que se ${\displaystyle r,t\in I}$ e se houver um ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ de tal modo que ${\displaystyle r\leq s\leq t}$, então também é tem-se ${\displaystyle s\in I}$. Um módulo de intervalo ${\displaystyle k_{I}}$ atribui a cada elemento ${\displaystyle s\in I}$ o espaço vetorial ${\displaystyle k}$ e atribui o espaço vetorial nulo aos elementos de ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I}$. Todas as aplicações ${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$ são nulas, a não ser que ${\displaystyle s,t\in I}$ e ${\displaystyle s\leq t}$, nesse caso ${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$ é a aplicação identidade.^[33] Módulos de intervalo são indecomponíveis.^[68]

Embora o resultado de Crawley-Boevey seja um teorema muito poderoso, ele ainda não se estende ao caso q-tame.^[65] Um módulo de persistência é q-tame se o posto de ☃☃ é finito sempre que ☃☃. Existem exemplos de módulos de persistência q-tame não são pontualmente finitos. ☃ No entanto, verifica-se que um teorema de estrutura semelhante ainda é válido sforem removides a as características que existem apenas em um valor de índias.^[68] Isso é válido porque as partes de dimensão inifinita em cada valor de índice não persistem, devido à condição de posto finito.^[69] Formalmente, a categoria observável ${\displaystyle \mathrm {Ob} }$ é definida como ${\displaystyle \mathrm {Pers} /\mathrm {Eph} }$, em que ${\displaystyle \mathrm {Eph} }$ denota a subcategoria completa de ${\displaystyle \mathrm {Pers} }$ cujos objetos são os módulos efêmeros (${\displaystyle \rho _{s}^{t}=0}$ sempre que ${\displaystyle s<t}$ )

Observe que os resultados estendidos listados aqui não se aplicam à persistência em ziguezague, uma vez que o análogo de um módulo de persistência em ziguezague sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ não é imediatamente óbvio.

Estatísticas

Os dados reais são sempre finitos, consequentemente seu estudo exige que levemos em consideração a estocasticidade. A análise estatística nos dá a habilidade de separar características verdadeiras dos dados de artefatos introduzidos por ruído aleatório. Não há um mecanismo inerente à homologia persistente para distinguir entre características de baixa probabilidade e características de alta probabilidade.

Uma maneira de aplicar estatística à análise topológica de dados é estudar as propriedades estatísticas das características topológicas das nuvens de pontos. O estudo de complexos simpliciais aleatórios oferece alguns insights sobre a topologia estatística. K. Turner et al.^[70] oferecem um resumo dos trabalhos nessa linha.

Uma segunda maneira é estudar as distribuições de probabilidade no espaço de persistência. O espaço de persistência ${\displaystyle B_{\infty }}$ é ${\displaystyle \coprod _{n}B_{n}/{\backsim }}$, Onde ${\displaystyle B_{n}}$ é o espaço de todos os códigos de barras contendo exatamente ${\displaystyle n}$ intervalos e as equivalências são ${\displaystyle \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}}$ se ${\displaystyle x_{n}=y_{n}}$.^[71] Este espaço é bastante complicado; por exemplo, ele não é completo na métrica de gargalo. A primeira tentativa de estudá-lo foi feita por Y. Mileyko et al.^[72] O espaço dos diagramas de persistência ${\displaystyle D_{p}}$ é definido em seu artigo como $${\displaystyle D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}}$$ em que ${\displaystyle \Delta }$ é a reta diagonal em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Uma boa propriedade é que ${\displaystyle D_{p}}$ é completo e separável na métrica de Wasserstein${\displaystyle W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}}$ . A esperança, a variância e a probabilidade condicional podem ser definidas no sentido de Fréchet. Isso permite que muitas ferramentas estatísticas sejam transferidas para a TDA. Trabalhos em teste de significância de hipótese nula,^[73] intervalos de confiança^[74] e estimativas robustas^[75] são etapas notáveis.

Uma terceira forma é considerar a coomologia do espaço probabilístico ou sistemas estatísticos diretamente, chamadas de estruturas de informação e consistindo basicamente nas triplas ( ${\displaystyle \Omega ,\Pi ,P}$ ), espaço amostral, variáveis aleatórias e leis de probabilidade.^[76][77] Variáveis aleatórias são consideradas como partições das n probabilidades atômicas (vistas como um (n-1)-simplex de probabilidade, ${\displaystyle |\Omega |=n}$ ) no reticulado de partições (${\displaystyle \Pi _{n}}$). As variáveis aleatórias ou módulos de funções mensuráveis fornecem os complexos de cocadeia enquanto o cobordo é considerado como a álgebra homológica geral descoberta pela primeira vez por Hochschild com uma ação à esquerda implementando a ação de condicionamento. A primeira condição de cociclo corresponde à regra da cadeia de entropia, permitindo derivar unicamente a menos da constante multiplicativa, a entropia de Shannon como a primeira classe de coomologia. A consideração de uma ação deformada à esquerda generaliza o quadro para entropias de Tsallis. A coomologia da informação é um exemplo de topos anelados. k-informações mútuas multivariadas aparecem em expressões cobordos, e o seu desaparecimento, relacionado à condição de cociclo, fornece condições equivalentes para a independência estatística.^[78] Mínimos de informações mútuas, também chamados de sinergia, dão origem a configurações de independência interessantes análogas a links homotópicos. Devido à sua complexidade combinatória, apenas o subcaso simplicial da coomologia e da estrutura de informação foi investigado nos dados. Aplicadas a dados, essas ferramentas coomológicas quantificam dependências e independências estatísticas, incluindo cadeias de Markov e independência condicional, no caso multivariado.^[79] Notavelmente, as informações mútuas generalizam o coeficiente de correlação e a covariância para dependências estatísticas não lineares. Essas abordagens foram desenvolvidas de forma independente e apenas indiretamente relacionadas aos métodos de persistência, mas podem ser aproximadamente compreendidas no caso simplicial usando o Teorema de Hu Kuo Tin que estabelece correspondência um a um entre funções de informações mútuas e função mensurável finita de um conjunto com operador de interseção, para construir o esqueleto do complexo de Čech . A coomologia de informações oferece alguma interpretação e aplicação direta em termos de neurociência (teoria da montagem neural e cognição qualitativa^[80]), física estatística e rede neural profunda para a qual a estrutura e o algoritmo de aprendizagem são impostos pelo complexo de variáveis aleatórias e pela regra da cadeia de informações.^[81]

As paisagens de persistência, introduzidas por Peter Bubenik, são uma forma diferente de representar códigos de barras, mais passíveis de análise estatística.^[82] A paisagem de persistência de um módulo persistente ${\displaystyle M}$ é definida como uma função ${\displaystyle \lambda :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}}$, ${\displaystyle \lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)}$, Onde ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$ denota a reta real estendida e ${\displaystyle \beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))}$. O espaço de paisagens de persistência é muito bom: ele herda todas as boas propriedades de representação de código de barras (estabilidade, fácil representação, etc.), mas as quantidades estatísticas podem ser prontamente definidas, e alguns problemas no trabalho de Y. Mileyko et al., como a não unicidade das expectativas,^[72] podem ser superados. Estão disponíveis algoritmos eficazes para computação com paisagens de persistência.^[83] Outra abordagem é usar a persistência revisada, que é a persistência de imagem, núcleo e conúcleo.^[84]

Aplicações

Classificação das aplicações

Existe mais de uma maneira de classificar as aplicações da TDA. Talvez a forma mais natural seja pela área. Uma lista muito incompleta de aplicações bem-sucedidas inclui^[85] esqueletização de dados,^[86] estudo da forma,^[87] reconstrução de gráfico,^{[88][89][90][91][79]} análise de imagem,^[92][93] material,^[94] análise de progressão de doenças,^[95][96] rede de sensores,^[62] análise de sinais,^[97] teia cósmica,^[98] rede complexa,^{[99][100][101][102]} geometria fractal,^[103] evolução viral,^[104] propagação de contágios em redes,^[105] classificação de bactérias usando espectroscopia molecular,^[106] imageamento hiperespectral em físico-química^[107] e sensoriamento remoto.^[108] Outra forma é distinguindo as técnicas de G. Carlsson,^[71]

uma sendo o estudo de invariantes homológicos de dados em conjuntos de dados individuais, e a outra é o uso dos invariantes homológicos no estudo de bancos de dados em que os próprios pontos de dados têm estrutura geométrica.

Características da TDA em aplicações

Existem várias características interessantes notáveis das aplicações recentes do TDA:

1. Combinação de ferramentas de vários ramos da matemática. Além da necessidade óbvia de álgebra e topologia, a TDA também fez uso a equações diferenciais parciais,^[109] geometria algébrica,^[36] teoria da representação,^[49] estatística, combinatória e geometria Riemanniana.^[69]
2. Análise quantitativa. A topologia é considerada muito suave, pois muitos conceitos são invariantes sob homotopia. No entanto, a topologia persistente é capaz de registrar o nascimento (aparecimento) e morte (desaparecimento) de características topológicas, portanto, informações geométricas extras estão incorporadas nela. Uma evidência em teoria é um resultado parcialmente positivo na unicidade da reconstrução de curvas;^[110] dois em aplicações se referem à análise quantitativa da estabilidade do fulereno e a análise quantitativa da autossimilaridade, separadamente.^[103][111]
3. O papel da persistência curta. A persistência curta também se mostrou útil, apesar da crença comum de que o fenômeno seja causado por ruído.^[112] Isso é interessante para a teoria matemática.

Um dos principais campos da análise de dados hoje é o aprendizado de máquina. Alguns exemplos de aprendizado de máquina em TDA podem ser encontrados em Adcock et al.^[113] Uma conferência é dedicada à ligação entre a TDA e o aprendizado de máquina. Para aplicar ferramentas de aprendizado de máquina, as informações obtidas na TDA devem ser representadas na forma vetorial. Uma tentativa contínua e promissora é o cenário de persistência discutido acima. Outra tentativa usa o conceito de imagens de persistência.^[114] Porém, um problema desse método é a perda de estabilidade, uma vez que o teorema da estabilidade rígida depende da representação em código de barras.

Impacto na matemática

A análise topológica de dados e a homologia persistente tiveram impactos na teoria de Morse. A teoria de Morse desempenhou um papel muito importante na teoria de TDA, inclusive na computação. Alguns trabalhos em homologia persistente estenderam resultados sobre funções de Morse para funções tame ou mesmo para funções contínuas. Um resultado esquecido de R. Deheuvels de muito antes da invenção da homologia persistente estende a teoria de Morse a todas as funções contínuas.^[115]

Um resultado recente é que a categoria de grafos Reeb é equivalente a uma classe particular de cofeixe.^[116] Isso é motivado por trabalhos teóricos em TDA, uma vez que o grafo de Reeb está relacionado à teoria de Morse e o MAPPER é derivado dela. A prova desse teorema se baseia na distância de intercalação.

A homologia persistente está intimamente relacionada às sequências espectrais.^[117][118] Em particular, o algoritmo que leva um complexo filtrado à sua forma canônica^[10] permite um cálculo muito mais rápido de sequências espectrais do que o procedimento padrão de cálcular os grupos ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ página por página. A persistência em ziguezague pode acabar sendo de importância teórica para as sequências espectrais.

Ver também

• Redução de dimensionalidade
• Mineração de dados
• Visão computacional
• Topologia computacional
• Teoria de Morse discreta
• Análise da forma (geometria digital)
• Teoria do tamanho
• Topologia algébrica

Referências

1. Epstein. «Topological data analysis». Inverse Problems. 27. 120201 páginas. Bibcode:2011InvPr..27a0101E. arXiv:1609.08227. doi:10.1088/0266-5611/27/12/120201 
2. «diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%253A575329&dswid=4297». www.diva-portal.org. Consultado em 5 de novembro de 2015. Cópia arquivada em 19 de novembro de 2015 
3. Carlsson. «Topology and data». Bulletin of the American Mathematical Society. 46: 255–308. ISSN 0273-0979. doi:10.1090/S0273-0979-09-01249-X 
4. Edelsbrunner H. Persistent homology: theory and practice[J]. 2014.
5. Frosini. «A distance for similarity classes of submanifolds of a Euclidean space». Bulletin of the Australian Mathematical Society. 42: 407–415. ISSN 1755-1633. doi:10.1017/S0004972700028574 
6. Robins V. Towards computing homology from finite approximations[C]//Topology proceedings. 1999, 24(1): 503-532.
7. «Topological Persistence and Simplification». Discrete & Computational Geometry. 28: 511–533. ISSN 0179-5376. doi:10.1007/s00454-002-2885-2 
8. Carlsson. «Persistence barcodes for shapes». International Journal of Shape Modeling. 11: 149–187. CiteSeerX 10.1.1.5.2718. ISSN 0218-6543. doi:10.1142/S0218654305000761 
9. Zomorodian. «Computing Persistent Homology». Discrete & Computational Geometry. 33: 249–274. ISSN 0179-5376. doi:10.1007/s00454-004-1146-y 
10. Barannikov. «Framed Morse complex and its invariants». Advances in Soviet Mathematics. 21: 93–115 
11. Chazal, Frédéric; Cohen-Steiner, David; Glisse, Marc; Guibas, Leonidas J.; Oudot, Steve Y. (1 de janeiro de 2009). Proximity of Persistence Modules and Their Diagrams. ACM. Col: SCG '09. New York, NY, USA: [s.n.] pp. 237–246. ISBN 978-1-60558-501-7. doi:10.1145/1542362.1542407 
12. Munch E. Applications of persistent homology to time varying systems[D]. Duke University, 2013.
13. Shikhman, Vladimir (2011). Topological Aspects of Nonsmooth Optimization. Springer Science & Business Media (em inglês). [S.l.: s.n.] pp. 169–170. ISBN 9781461418979 
14. Cohen-Steiner. «Stability of Persistence Diagrams». Discrete & Computational Geometry. 37: 103–120. ISSN 0179-5376. doi:10.1007/s00454-006-1276-5 
15. Ghrist. «Barcodes: The persistent topology of data». Bulletin of the American Mathematical Society. 45: 61–75. ISSN 0273-0979. doi:10.1090/S0273-0979-07-01191-3 
16. Chazal, Frédéric; Glisse, Marc; Labruère, Catherine; Michel, Bertrand (27 de maio de 2013). «Optimal rates of convergence for persistence diagrams in Topological Data Analysis». arXiv:1305.6239 [math.ST] 
17. Edelsbrunner, Herbert; Harer, John (1 de janeiro de 2010). Computational Topology: An Introduction. American Mathematical Soc. [S.l.: s.n.] ISBN 9780821849255 
18. De Silva, Vin; Carlsson, Gunnar (1 de janeiro de 2004). Topological Estimation Using Witness Complexes. Eurographics Association. Col: SPBG'04. Aire-la-Ville, Switzerland, Switzerland: [s.n.] pp. 157–166. ISBN 978-3-905673-09-8. doi:10.2312/SPBG/SPBG04/157-166 
19. Mischaikow. «Morse Theory for Filtrations and Efficient Computation of Persistent Homology». Discrete & Computational Geometry. 50: 330–353. ISSN 0179-5376. doi:10.1007/s00454-013-9529-6 
20. «Matroid Filtrations and Computational Persistent Homology». Bibcode:2016arXiv160600199H. arXiv:1606.00199 
21. Chen. «An output-sensitive algorithm for persistent homology». Computational Geometry. 27th Annual Symposium on Computational Geometry (SoCG 2011). 46: 435–447. doi:10.1016/j.comgeo.2012.02.010 
22. Otter. «A roadmap for the computation of persistent homology». EPJ Data Science. 6. 17 páginas. Bibcode:2015arXiv150608903O. PMC 6979512. PMID 32025466. arXiv:1506.08903. doi:10.1140/epjds/s13688-017-0109-5 
23. Fasy, Brittany Terese; Kim, Jisu; Lecci, Fabrizio; Maria, Clément (7 de novembro de 2014). «Introduction to the R package TDA». arXiv:1411.1830 [cs.MS] 
24. Wadhwa. «TDAstats: R pipeline for computing persistent homology in topological data analysis». Journal of Open Source Software. 3. 860 páginas. Bibcode:2018JOSS....3..860R. doi:10.21105/joss.00860 
25. Liu S, Maljovec D, Wang B, et al. Visualizing High-Dimensional Data: Advances in the Past Decade[J].
26. Dey, Tamal K.; Memoli, Facundo; Wang, Yusu (14 de abril de 2015). «Mutiscale Mapper: A Framework for Topological Summarization of Data and Maps». arXiv:1504.03763 [cs.CG] 
27. «Download Limit Exceeded». CiteSeerX 10.1.1.161.8956 
28. Bott, Raoul; Tu, Loring W. (17 de abril de 2013). Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Science & Business Media. [S.l.: s.n.] ISBN 9781475739510 
29. Pascucci, Valerio; Scorzelli, Giorgio; Bremer, Peer-Timo; Mascarenhas, Ajith (2007). «Robust on-line computation of Reeb graphs: simplicity and speed.». ACM Transactions on Graphics. 33: 58.1–58.9. doi:10.1145/1275808.1276449 
30. Curry, Justin (13 de março de 2013). «Sheaves, Cosheaves and Applications». arXiv:1303.3255 [math.AT] 
31. Liu. «A fast algorithm for constructing topological structure in large data». Homology, Homotopy and Applications. 14: 221–238. ISSN 1532-0073. doi:10.4310/hha.2012.v14.n1.a11 
32. Lum. «Extracting insights from the shape of complex data using topology». Scientific Reports. 3. 1236 páginas. Bibcode:2013NatSR...3E1236L. PMC 3566620. PMID 23393618. doi:10.1038/srep01236 
33. Curry, Justin (3 de novembro de 2014). «Topological Data Analysis and Cosheaves». arXiv:1411.0613 [math.AT] 
34. Frosini P, Mulazzani M. Size homotopy groups for computation of natural size distances[J]. Bulletin of the Belgian Mathematical Society Simon Stevin, 1999, 6(3): 455-464.
35. Biasotti. «Multidimensional Size Functions for Shape Comparison». Journal of Mathematical Imaging and Vision. 32: 161–179. ISSN 0924-9907. doi:10.1007/s10851-008-0096-z 
36. Carlsson. «The Theory of Multidimensional Persistence». Discrete & Computational Geometry. 42: 71–93. ISSN 0179-5376. doi:10.1007/s00454-009-9176-0 
37. Derksen H, Weyman J. Quiver representations[J]. Notices of the AMS, 2005, 52(2): 200-206.
38. Atiyah M F. On the Krull-Schmidt theorem with application to sheaves[J]. Bulletin de la Société Mathématique de France, 1956, 84: 307-317.
39. Cerri A, Di Fabio B, Ferri M, et al. Multidimensional persistent homology is stable[J]. Arxiv, 2009.
40. Cagliari. «Finiteness of rank invariants of multidimensional persistent homology groups». Applied Mathematics Letters. 24: 516–518. arXiv:1001.0358. doi:10.1016/j.aml.2010.11.004 
41. Cagliari. «One-dimensional reduction of multidimensional persistent homology». Proceedings of the American Mathematical Society. 138: 3003–3017. ISSN 0002-9939. arXiv:math/0702713. doi:10.1090/S0002-9939-10-10312-8 
42. Cerri. «Betti numbers in multidimensional persistent homology are stable functions». Mathematical Methods in the Applied Sciences. 36: 1543–1557. Bibcode:2013MMAS...36.1543C. ISSN 1099-1476. doi:10.1002/mma.2704 
43. Cerri. «Necessary conditions for discontinuities of multidimensional persistent Betti numbers». Mathematical Methods in the Applied Sciences. 38: 617–629. Bibcode:2015MMAS...38..617C. ISSN 1099-1476. doi:10.1002/mma.3093 
44. Cerri, Andrea; Landi, Claudia (20 de março de 2013). Gonzalez-Diaz; Jimenez; Medrano, eds. The Persistence Space in Multidimensional Persistent Homology. Springer Berlin Heidelberg. Col: Lecture Notes in Computer Science. [S.l.: s.n.] pp. 180–191. ISBN 978-3-642-37066-3. doi:10.1007/978-3-642-37067-0_16 
45. Skryzalin, Jacek; Carlsson, Gunnar (14 de novembro de 2014). «Numeric Invariants from Multidimensional Persistence». arXiv:1411.4022 [cs.CG] 
46. Carlsson, Gunnar; Singh, Gurjeet; Zomorodian, Afra (16 de dezembro de 2009). Dong; Du; Ibarra, eds. Computing Multidimensional Persistence. Springer Berlin Heidelberg. Col: Lecture Notes in Computer Science. [S.l.: s.n.] pp. 730–739. ISBN 978-3-642-10630-9. doi:10.1007/978-3-642-10631-6_74 
47. Allili, Madjid; Kaczynski, Tomasz; Landi, Claudia (30 de outubro de 2013). «Reducing complexes in multidimensional persistent homology theory». arXiv:1310.8089 [cs.CG] 
48. Cavazza N, Ferri M, Landi C. Estimating multidimensional persistent homology through a finite sampling[J]. 2010.
49. Carlsson. «Zigzag Persistence». Foundations of Computational Mathematics. 10: 367–405. ISSN 1615-3375. doi:10.1007/s10208-010-9066-0 
50. Cohen-Steiner. «Extending Persistence Using Poincaré and Lefschetz Duality». Foundations of Computational Mathematics. 9: 79–103. ISSN 1615-3375. doi:10.1007/s10208-008-9027-z 
51. de Silva (2011). «Dualities in persistent (co)homology». Inverse Problems. 27. 124003 páginas. Bibcode:2011InvPr..27l4003D. arXiv:1107.5665. doi:10.1088/0266-5611/27/12/124003 
52. Silva. «Persistent Cohomology and Circular Coordinates». Discrete & Computational Geometry. 45: 737–759. ISSN 0179-5376. arXiv:0905.4887. doi:10.1007/s00454-011-9344-x 
53. Burghelea. «Topological Persistence for Circle-Valued Maps». Discrete & Computational Geometry. 50: 69–98. ISSN 0179-5376. arXiv:1104.5646. doi:10.1007/s00454-013-9497-x 
54. Novikov S P. Quasiperiodic structures in topology[C]//Topological methods in modern mathematics, Proceedings of the symposium in honor of John Milnor’s sixtieth birthday held at the State University of New York, Stony Brook, New York. 1991: 223-233.
55. Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay (2 de junho de 2004). Handbook of Graph Theory. CRC Press. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-203-49020-4 
56. Burghelea, Dan; Haller, Stefan (4 de junho de 2015). «Topology of angle valued maps, bar codes and Jordan blocks». arXiv:1303.4328 [math.AT] 
57. Frosini. «Stable Comparison of Multidimensional Persistent Homology Groups with Torsion». Acta Applicandae Mathematicae. 124: 43–54. ISSN 0167-8019. arXiv:1012.4169. doi:10.1007/s10440-012-9769-0 
58. Lesnick. «The Theory of the Interleaving Distance on Multidimensional Persistence Modules». Foundations of Computational Mathematics. 15: 613–650. ISSN 1615-3375. arXiv:1106.5305. doi:10.1007/s10208-015-9255-y 
59. Bubenik, Peter; Scott, Jonathan A. (28 de janeiro de 2014). «Categorification of Persistent Homology». Discrete & Computational Geometry. 51: 600–627. ISSN 0179-5376. arXiv:1205.3669. doi:10.1007/s00454-014-9573-x 
60. Bubenik, Peter; Silva, Vin de; Scott, Jonathan (9 de outubro de 2014). «Metrics for Generalized Persistence Modules». Foundations of Computational Mathematics. 15: 1501–1531. CiteSeerX 10.1.1.748.3101. ISSN 1615-3375. doi:10.1007/s10208-014-9229-5 
61. de Silva, Vin; Nanda, Vidit (1 de janeiro de 2013). Geometry in the Space of Persistence Modules. ACM. Col: SoCG '13. New York, NY, USA: [s.n.] pp. 397–404. ISBN 978-1-4503-2031-3. doi:10.1145/2462356.2462402 
62. De Silva V, Ghrist R. Coverage in sensor networks via persistent homology[J]. Algebraic & Geometric Topology, 2007, 7(1): 339-358.
63. Di Fabio, B.; Frosini, P. (1 de agosto de 2013). «Filtrations induced by continuous functions». Topology and Its Applications. 160: 1413–1422. Bibcode:2013arXiv1304.1268D. arXiv:1304.1268. doi:10.1016/j.topol.2013.05.013 
64. Lesnick, Michael (6 de junho de 2012). «Multidimensional Interleavings and Applications to Topological Inference». arXiv:1206.1365 [math.AT] 
65. Chazal, Frederic; de Silva, Vin; Glisse, Marc; Oudot, Steve (16 de julho de 2012). «The structure and stability of persistence modules». arXiv:1207.3674 [math.AT] 
66. Webb, Cary (1 de janeiro de 1985). «Decomposition of graded modules». Proceedings of the American Mathematical Society. 94: 565–571. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/S0002-9939-1985-0792261-6 
67. Crawley-Boevey, William (2015). «Decomposition of pointwise finite-dimensional persistence modules». Journal of Algebra and Its Applications. 14. 1550066 páginas. arXiv:1210.0819. doi:10.1142/s0219498815500668 
68. Chazal, Frederic; Crawley-Boevey, William; de Silva, Vin (22 de maio de 2014). «The observable structure of persistence modules». arXiv:1405.5644 [math.RT] 
69. Weinberger S. What is... persistent homology?[J]. Notices of the AMS, 2011, 58(1): 36-39.
70. Turner, Katharine; Mileyko, Yuriy; Mukherjee, Sayan; Harer, John (12 de julho de 2014). «Fréchet Means for Distributions of Persistence Diagrams». Discrete & Computational Geometry. 52: 44–70. ISSN 0179-5376. arXiv:1206.2790. doi:10.1007/s00454-014-9604-7 
71. Carlsson, Gunnar (1 de maio de 2014). «Topological pattern recognition for point cloud data». Acta Numerica. 23: 289–368. ISSN 1474-0508. doi:10.1017/S0962492914000051 
72. Mileyko, Yuriy; Mukherjee, Sayan; Harer, John (10 de novembro de 2011). «Probability measures on the space of persistence diagrams». Inverse Problems. 27. 124007 páginas. Bibcode:2011InvPr..27l4007M. ISSN 0266-5611. doi:10.1088/0266-5611/27/12/124007 
73. Robinson, Andrew; Turner, Katharine (28 de outubro de 2013). «Hypothesis Testing for Topological Data Analysis». arXiv:1310.7467 [stat.AP] 
74. Fasy, Brittany Terese; Lecci, Fabrizio; Rinaldo, Alessandro; Wasserman, Larry; Balakrishnan, Sivaraman; Singh, Aarti (1 de dezembro de 2014). «Confidence sets for persistence diagrams». The Annals of Statistics. 42: 2301–2339. ISSN 0090-5364. doi:10.1214/14-AOS1252 
75. Blumberg, Andrew J.; Gal, Itamar; Mandell, Michael A.; Pancia, Matthew (15 de maio de 2014). «Robust Statistics, Hypothesis Testing, and Confidence Intervals for Persistent Homology on Metric Measure Spaces». Foundations of Computational Mathematics. 14: 745–789. ISSN 1615-3375. arXiv:1206.4581. doi:10.1007/s10208-014-9201-4 
76. Baudot, Pierre; Bennequin, Daniel (2015). «The Homological Nature of Entropy». Entropy. 17: 3253–3318. Bibcode:2015Entrp..17.3253B. doi:10.3390/e17053253 
77. Vigneaux, Juan-Pablo (2019). «Topology of Statistical Systems: A Cohomological Approach to Information Theory» (PDF). PHD Manuscript: 0–226 
78. Baudot, Pierre; Tapia, Monica; Bennequin, Daniel; Goaillard, Jean-Marc (2019). «Topological Information Data Analysis». Entropy. 21. 881 páginas. Bibcode:2019Entrp..21..881B. doi:10.3390/e21090881 
79. Tapia, Monica; al., et (2018). «Neurotransmitter identity and electrophysiological phenotype are genetically coupled in midbrain dopaminergic neurons». Scientific Reports. 8. 13637 páginas. Bibcode:2018NatSR...813637T. PMC 6134142. PMID 30206240. doi:10.1038/s41598-018-31765-z 
80. Baudot, Pierre (2019). «Elements of qualitative cognition: an Information Topology Perspective». Physics of Life Reviews. 31: 263–275. Bibcode:2019PhLRv..31..263B. PMID 31679788. arXiv:1807.04520. doi:10.1016/j.plrev.2019.10.003 
81. Baudot, Pierre (2019). «The Poincaré-Shannon Machine: Statistical Physics and Machine Learning Aspects of Information Cohomology». Entropy. 21. 881 páginas. Bibcode:2019Entrp..21..881B. doi:10.3390/e21090881 
82. Bubenik, Peter (26 de julho de 2012). «Statistical topological data analysis using persistence landscapes». arXiv:1207.6437 [math.AT] 
83. Bubenik, Peter; Dlotko, Pawel (31 de dezembro de 2014). «A persistence landscapes toolbox for topological statistics». Journal of Symbolic Computation. 78: 91–114. Bibcode:2015arXiv150100179B. arXiv:1501.00179. doi:10.1016/j.jsc.2016.03.009 
84. Cohen-Steiner, David; Edelsbrunner, Herbert; Harer, John; Morozov, Dmitriy (2009). Proceedings of the Twentieth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. [S.l.: s.n.] pp. 1011–1020. ISBN 978-0-89871-680-1. doi:10.1137/1.9781611973068.110 
85. Kurlin, V. (2015). «A one-dimensional Homologically Persistent Skeleton of an unstructured point cloud in any metric space» (PDF). Computer Graphics Forum (CGF). 34: 253–262. doi:10.1111/cgf.12713 
86. Kurlin, V. (2014). «A fast and robust algorithm to count topologically persistent holes in noisy clouds». 2014 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (PDF). [S.l.: s.n.] pp. 1458–1463. ISBN 978-1-4799-5118-5. arXiv:1312.1492. doi:10.1109/CVPR.2014.189 
87. Kurlin, V. (2015). «A Homologically Persistent Skeleton is a fast and robust descriptor of interest points in 2D images». Computer Analysis of Images and Patterns (PDF). Col: Lecture Notes in Computer Science. 9256. [S.l.: s.n.] pp. 606–617. ISBN 978-3-319-23191-4. doi:10.1007/978-3-319-23192-1_51 
88. Cerri, A.; Ferri, M.; Giorgi, D. (1 de setembro de 2006). «Retrieval of trademark images by means of size functions». Graphical Models. Special Issue on the Vision, Video and Graphics Conference 2005. 68: 451–471. doi:10.1016/j.gmod.2006.07.001 
89. Chazal, Frédéric; Cohen-Steiner, David; Guibas, Leonidas J.; Mémoli, Facundo; Oudot, Steve Y. (1 de julho de 2009). «Gromov-Hausdorff Stable Signatures for Shapes using Persistence». Computer Graphics Forum. 28: 1393–1403. CiteSeerX 10.1.1.161.9103. ISSN 1467-8659. doi:10.1111/j.1467-8659.2009.01516.x 
90. Biasotti, S.; Giorgi, D.; Spagnuolo, M.; Falcidieno, B. (1 de setembro de 2008). «Size functions for comparing 3D models». Pattern Recognition. 41: 2855–2873. doi:10.1016/j.patcog.2008.02.003 
91. Li, C.; Ovsjanikov, M.; Chazal, F. (2014). «Persistence-based Structural Recognition» (PDF). IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition 
92. Bendich, P.; Edelsbrunner, H.; Kerber, M. (1 de novembro de 2010). «Computing Robustness and Persistence for Images». IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. 16: 1251–1260. CiteSeerX 10.1.1.185.523. ISSN 1077-2626. PMID 20975165. doi:10.1109/TVCG.2010.139 
93. Carlsson, Gunnar; Ishkhanov, Tigran; Silva, Vin de; Zomorodian, Afra (30 de junho de 2007). «On the Local Behavior of Spaces of Natural Images». International Journal of Computer Vision. 76: 1–12. CiteSeerX 10.1.1.463.7101. ISSN 0920-5691. doi:10.1007/s11263-007-0056-x 
94. Nakamura, Takenobu; Hiraoka, Yasuaki; Hirata, Akihiko; Escolar, Emerson G.; Nishiura, Yasumasa (26 de fevereiro de 2015). «Persistent Homology and Many-Body Atomic Structure for Medium-Range Order in the Glass». Nanotechnology. 26. 304001 páginas. Bibcode:2015Nanot..26D4001N. PMID 26150288. arXiv:1502.07445. doi:10.1088/0957-4484/26/30/304001 
95. Nicolau, Monica; Levine, Arnold J.; Carlsson, Gunnar (26 de abril de 2011). «Topology based data analysis identifies a subgroup of breast cancers with a unique mutational profile and excellent survival». Proceedings of the National Academy of Sciences. 108: 7265–7270. Bibcode:2011PNAS..108.7265N. ISSN 0027-8424. PMC 3084136. PMID 21482760. doi:10.1073/pnas.1102826108 
96. Schmidt, Stephan; Post, Teun M.; Boroujerdi, Massoud A.; Kesteren, Charlotte van; Ploeger, Bart A.; Pasqua (1 de janeiro de 2011). Kimko; Peck, eds. Disease Progression Analysis: Towards Mechanism-Based Models. Springer New York. Col: AAPS Advances in the Pharmaceutical Sciences Series. [S.l.: s.n.] pp. 433–455. ISBN 978-1-4419-7414-3. doi:10.1007/978-1-4419-7415-0_19 
97. Perea, Jose A.; Harer, John (29 de maio de 2014). «Sliding Windows and Persistence: An Application of Topological Methods to Signal Analysis». Foundations of Computational Mathematics. 15: 799–838. CiteSeerX 10.1.1.357.6648. ISSN 1615-3375. doi:10.1007/s10208-014-9206-z 
98. van de Weygaert, Rien; Vegter, Gert; Edelsbrunner, Herbert; Jones, Bernard J. T.; Pranav, Pratyush; Park (1 de janeiro de 2011). Gavrilova; Tan; Mostafavi, eds. Transactions on Computational Science XIV. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg: [s.n.] pp. 60–101. ISBN 978-3-642-25248-8 
99. Horak, Danijela; Maletić, Slobodan; Rajković, Milan (1 de março de 2009). «Persistent homology of complex networks - IOPscience». Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2009: P03034. Bibcode:2009JSMTE..03..034H. arXiv:0811.2203. doi:10.1088/1742-5468/2009/03/p03034 
100. Carstens, C. J.; Horadam, K. J. (4 de junho de 2013). «Persistent Homology of Collaboration Networks». Mathematical Problems in Engineering. 2013: 1–7. doi:10.1155/2013/815035 
101. Lee, Hyekyoung; Kang, Hyejin; Chung, M.K.; Kim, Bung-Nyun; Lee, Dong Soo (1 de dezembro de 2012). «Persistent Brain Network Homology From the Perspective of Dendrogram». IEEE Transactions on Medical Imaging. 31: 2267–2277. CiteSeerX 10.1.1.259.2692. ISSN 0278-0062. PMID 23008247. doi:10.1109/TMI.2012.2219590 
102. Petri, G.; Expert, P.; Turkheimer, F.; Carhart-Harris, R.; Nutt, D.; Hellyer, P. J.; Vaccarino, F. (6 de dezembro de 2014). «Homological scaffolds of brain functional networks». Journal of the Royal Society Interface. 11. 20140873 páginas. ISSN 1742-5689. PMC 4223908. PMID 25401177. doi:10.1098/rsif.2014.0873 
103. MacPherson, Robert; Schweinhart, Benjamin (1 de julho de 2012). «Measuring shape with topology». Journal of Mathematical Physics. 53. 073516 páginas. Bibcode:2012JMP....53g3516M. ISSN 0022-2488. arXiv:1011.2258. doi:10.1063/1.4737391 
104. Chan, Joseph Minhow; Carlsson, Gunnar; Rabadan, Raul (12 de novembro de 2013). «Topology of viral evolution». Proceedings of the National Academy of Sciences. 110: 18566–18571. Bibcode:2013PNAS..11018566C. ISSN 0027-8424. PMC 3831954. PMID 24170857. doi:10.1073/pnas.1313480110 
105. Taylor, D.; al, et. (21 de agosto de 2015). «Topological data analysis of contagion maps for examining spreading processes on networks». Nature Communications. 6. 7723 páginas. Bibcode:2015NatCo...6E7723T. ISSN 2041-1723. PMC 4566922. PMID 26194875. arXiv:1408.1168. doi:10.1038/ncomms8723 
106. Offroy, M. (2016). «Topological data analysis: A promising big data exploration tool in biology, analytical chemistry and physical chemistry». Analytica Chimica Acta. 910: 1–11. PMID 26873463. doi:10.1016/j.aca.2015.12.037 
107. Duponchel, L. (2018). «Exploring hyperspectral imaging data sets with topological data analysis». Analytica Chimica Acta. 1000: 123–131. PMID 29289301. doi:10.1016/j.aca.2017.11.029 
108. Duponchel, L. (2018). «When remote sensing meets topological data analysis». Journal of Spectral Imaging. 7: a1. doi:10.1255/jsi.2018.a1 
109. Wang, Bao; Wei, Guo-Wei (7 de dezembro de 2014). «Objective-oriented Persistent Homology». arXiv:1412.2368 [q-bio.BM] 
110. Frosini, Patrizio; Landi, Claudia (2011). «Uniqueness of models in persistent homology: the case of curves». Inverse Problems. 27. 124005 páginas. Bibcode:2011InvPr..27l4005F. arXiv:1012.5783. doi:10.1088/0266-5611/27/12/124005 
111. Xia, Kelin; Feng, Xin; Tong, Yiying; Wei, Guo Wei (5 de março de 2015). «Persistent homology for the quantitative prediction of fullerene stability». Journal of Computational Chemistry. 36: 408–422. ISSN 1096-987X. PMC 4324100. PMID 25523342. doi:10.1002/jcc.23816 
112. Xia, Kelin; Wei, Guo-Wei (1 de agosto de 2014). «Persistent homology analysis of protein structure, flexibility, and folding». International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering. 30: 814–844. Bibcode:2014arXiv1412.2779X. ISSN 2040-7947. PMC 4131872. PMID 24902720. arXiv:1412.2779. doi:10.1002/cnm.2655 
113. Adcock, Aaron; Carlsson, Erik; Carlsson, Gunnar (31 de maio de 2016). «The ring of algebraic functions on persistence bar codes» (PDF). Homology, Homotopy and Applications. 18: 381–402. doi:10.4310/hha.2016.v18.n1.a21 
114. Chepushtanova, Sofya; Emerson, Tegan; Hanson, Eric; Kirby, Michael; Motta, Francis; Neville, Rachel; Peterson, Chris; Shipman, Patrick; Ziegelmeier, Lori (22 de julho de 2015). «Persistence Images: An Alternative Persistent Homology Representation». arXiv:1507.06217 [cs.CG] 
115. Deheuvels, Rene (1 de janeiro de 1955). «Topologie D'Une Fonctionnelle». Annals of Mathematics. Second Series. 61: 13–72. JSTOR 1969619. doi:10.2307/1969619 
116. de Silva, Vin; Munch, Elizabeth; Patel, Amit (13 de abril de 2016). «Categorified Reeb graphs». Discrete and Computational Geometry. 55: 854–906. arXiv:1501.04147. doi:10.1007/s00454-016-9763-9 
117. Goodman, Jacob E. (1 de janeiro de 2008). Surveys on Discrete and Computational Geometry: Twenty Years Later : AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference, June 18-22, 2006, Snowbird, Utah. American Mathematical Soc. [S.l.: s.n.] ISBN 9780821842393 
118. Edelsbrunner, Herbert; Harer, John (2008). Persistent homology - a survey. AMS. Col: Contemporary Mathematics. 453. [S.l.: s.n.] pp. 15–18. ISBN 9780821842393. doi:10.1090/conm/453/08802. Section 5 

Leitura complementar

Breve introdução

• Estudando a forma dos dados usando topologia, por Michael Lesnick
• Material de referência para análise topológica de dados por Mikael Vejdemo-Johansson

Monografia

• Teoria da persistência: das representações de aljavas à análise de dados, por Steve Oudot

Palestra em vídeo

• Introdução à Homologia Persistente e Topologia para Análise de Dados, por Matthew Wright
• A forma dos dados, de Gunnar Carlsson

Livros didáticos sobre topologia

• Topologia Algébrica, de Allen Hatcher
• Topologia Computacional: Uma Introdução, por Herbert Edelsbrunner e John L. Harer
• Topologia aplicada elementar, por Robert Ghrist

Outros recursos sobre TDA

• Topologia Aplicada, de Stanford
• Rede de pesquisa de topologia algébrica aplicada, do Institute for Mathematics and its Applications
• Aprendizagem Topológica de Kernel: A Teoria Morse Discreta é usada para conectar aprendizado de máquina de kernel à análise de dados topológicos. https://www.researchgate.net/publication/327427685_Topological_Kernel_Learning