Álgebra de Lie semissimples

Teoria de grupos → Grupos de Lie Grupos de Lie
Grupos clássicos Linear geral GL(n) Linear especial SL(n) Ortogonal O(n) Ortogonal especial SO(n) Unitário U(n) Especial unitário SU(n) Simplético Sp(n)
Grupos simples de Lie Lista de grupos simples de Lie Clássicos An Bn Cn Dn Excepcionais G2 F4 E6 E7 E8
Outros grupos de Lie Circular Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Euclidiano
Álgebras de Lie Mapa exponencial Representação adjunta (grupo álgebra) Forma de Killing Índice Simetria de ponto de Lie Álgebra simples de Lie
Álgebra de Lie semissimples Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raízes Grupo de Weyl Forma real Complexificação Álgebra segmentada de Lie Álgebra compacta de Lie
Espaços homogêneos Subgrupo fechado Subgrupo parabólico Espaço simétrico Espaço simétrico hermitiano Sistema de raízes restrito root system
Teoria de representação Representação de grupos de Lie Representação de álgebras de Lie
Grupos de Lie na física Física de partículas e teoria de representação Representações do grupo de Lorentz Representações do grupo de Poincaré Representações do grupo Galileano
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Tabela de grupos de Lie
v d e

Em matemática, uma álgebra de Lie é semissimples se ela é uma soma direta de álgebras de Lie simples, i.e., álgebras de Lie não abelianas ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nas quais os únicos ideais são triviais ({0} e ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Ela é chamada redutiva se ela é a soma de uma álgebra de Lie semissimples e abeliana.

Sendo ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ uma álgebra de Lie dimensional finita sobre uma corpo de característica 0. As seguintes condições são equivalentes:

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é semissimples
• a forma de Killing, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), é não degenerada,
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ não tem ideais abelianos não-zero,
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ não tem ideais solúveis não-zero,
• O radical de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é zero.

Bibliografia

• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9

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