Zagadnienie Cauchy’ego, zagadnienie początkowe[1], problem Cauchy'ego – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania rzędu pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji[2]. W przypadku równania rzędu drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższych rzędów.
Przykład
Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:
![{\displaystyle {\begin{cases}y'={\frac {y}{x^{2}+1}},\\[2pt]y\left({\frac {\pi }{4}}\right)=e^{3}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490913501a3087f6397594d35a8a6911a21d5bf4)
na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:
![{\displaystyle y=e^{\operatorname {arctg} x+C}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277ae40f46c8d702e3658d3d6a5bc5ab13ac0f18)
Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej
więc:
![{\displaystyle e^{3}=e^{\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}+C},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eab511f31bc734e41026f0afe40c57c158ff5d0)
![{\displaystyle 3=\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8c06f12b98594310e6e2f8fb24f1674d2c63c8)
![{\displaystyle C=3-\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11719c33b16132425b6c6c4e5f9c71ced72da14c)
Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:
![{\displaystyle y=e^{\operatorname {arctg} x+3-\operatorname {arctg} {\frac {\pi }{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0693e5f79c14db5cc18eb85d5f38f74e7f2c78)
Przypisy
Bibliografia