Układ ergodyczny

W matematyce, układem ergodycznym nazwiemy dowolny układ dynamiczny, w którym przekształcenie jest ergodyczne. Przez ergodyczność rozumiemy, że jedynymi zbiorami niezmienniczymi ze względu na to przekształcenie są cała przestrzeń oraz zbiór pusty. Układami ergodycznymi zajmuje się teoria ergodyczna.

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą. Ponadto, niech ${\displaystyle T\colon X\to X}$ będzie odwzorowaniem zachowującym miarę, tzn. ${\displaystyle \mu (T^{-1}A)=\mu (A)}$ dla każdego ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}.}$ Wówczas odwzorowanie ${\displaystyle T}$ nazwiemy ergodycznym, jeśli dla dowolnego ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ mamy ${\displaystyle \mu (A\;\Delta \;T^{-1}A)=0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \mu (A)=0}$ lub ${\displaystyle \mu (X\setminus A)=0}$ (${\displaystyle \Delta }$ oznacza różnicę symetryczną)^[1].

Układ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu ,T)}$ nazwiemy ergodycznym jeśli odwzorowanie ${\displaystyle T}$ jest ergodyczne.

Charakteryzacja ergodyczności

W literaturze znane są twierdzenia równoważne ergodyczności ${\displaystyle T.}$ Najczęściej zakłada się dodatkowo, że ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ jest nie tylko przestrzenią z miarą, ale też przestrzenią probabilistyczną.

Twierdzenie. Niech ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech ${\displaystyle T\colon X\to X}$ będzie odwzorowaniem zachowującym miarę. Poniższe warunki są równoważne.

• ${\displaystyle T}$ jest ergodyczne.
• Dla dowolnego ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ równość ${\displaystyle \mu (A\;\Delta \;T^{-1}A)=0}$ implikuje ${\displaystyle \mu (A)=0}$ lub ${\displaystyle \mu (A)=1.}$
• Dla dowolnego ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ jeśli ${\displaystyle \mu (A)>0,}$ to ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}A\right)=1.}$
• Dla dowolnych ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}},}$ jeśli ${\displaystyle \mu (A)>0}$ i ${\displaystyle \mu (B)>0,}$ to istnieje liczba całkowita ${\displaystyle n\geqslant 1}$ taka, że ${\displaystyle \mu (T^{-n}A\cap B)>0.}$
• Dla dowolnej funkcji mierzalnej ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}$ jeśli ${\displaystyle f(Tx)=f(x)}$ dla ${\displaystyle \mu -}$ prawie wszystkich ${\displaystyle x\in X,}$ to ${\displaystyle f(x)}$ jest funkcją stałą dla ${\displaystyle \mu -}$ prawie wszystkich ${\displaystyle x\in X.}$

Układ jednoznacznie ergodyczny

Specyficznym rodzajem układów ergodycznych są układy jednoznacznie ergodyczne. Określenie to oznacza, że istnieje dokładnie jedna dobrze określona miara taka, aby układ był ergodyczny.

Niech dany będzie zbiór ${\displaystyle X,}$ jego σ-algebra borelowska ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ oraz odwzorowanie ${\displaystyle T\colon X\to X.}$ Wówczas, jeśli istnieje dokładnie jedna miara ${\displaystyle \mu }$ zdefiniowana na ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ taka, że ${\displaystyle T}$ jest ergodyczne, to układ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu ,T)}$ nazwiemy jednoznacznie ergodycznym^[2][1].

Układy jednoznacznie ergodyczne posiadają własności, których nie można uogólnić na dowolne układy ergodyczne i które mogą okazać się kluczowe w dowodzeniu bardziej skomplikowanych twierdzeń.

Element ${\displaystyle x\in X}$ nazwiemy generycznym^[2], jeśli dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\in C(X)}$ zachodzi

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu .}$

Twierdzenie^[1]. Układ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu ,T)}$ jest jednoznacznie ergodyczny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy zbioru ${\displaystyle X}$ są generyczne.

Przypisy

1. PeterP. Walters PeterP., An Introduction to Ergodic Theory, 1982 (Graduate Texts in Mathematics), DOI: 10.1007/978-1-4612-5775-2, ISBN 978-1-4612-5775-2, ISSN 0072-5285, OCLC 7330410432 . Brak numerów stron w książce
2. AureliaA. Bartnicka AureliaA. i inni, B-free sets and dynamics, „arXiv”, 2015, DOI: 10.48550/ARXIV.1509.08010, arXiv:1509.08010 .